aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion<br />
(b) Falls p(i) = (s, t) ∈ N × P , dann setze<br />
Di· := atjAs· − asjAt·,<br />
di := atjbs − asjbt<br />
(d. h., das asj-fache der t-ten Zeile von A wird vom atj-fachen der s-ten Zeile von<br />
A abgezogen und als i-te Zeile von D betrachtet). △<br />
Hinweis: Die in (10.1) konstruierte Menge Z ∪ (N × P ) kann leer und somit r = 0<br />
sein. Die Matrix D ist dann eine Matrix mit 0 Zeilen und n Spalten und somit Dx ≤ d<br />
ein „leeres Ungleichungssystem“. Die Menge der zulässigen Lösungen P (D, d) = {x ∈<br />
K n |Dx ≤ d} unterliegt folglich keiner Einschränkung und ist daher der ganze Raum K n .<br />
Bevor wir den Algorithmus analysieren, betrachten wir ein Beispiel:<br />
−7x1 + 6x2 ≤ 25 (1)<br />
+x1 − 5x2 ≤ 1 (2)<br />
+x1 ≤ 7 (3)<br />
−x1 + 2x2 ≤ 12 (4)<br />
−x1 − 3x2 ≤ 1 (5)<br />
+2x1 − x2 ≤ 10 (6)<br />
Wir wollen die zweite Variable x2 eliminieren und erhalten in Schritt 1 von (10.1):<br />
N = {2, 5, 6}, Z = {3}, P = {1, 4}.<br />
Daraus ergibt sich |Z ∪ (N × P )| = 7. Die Nummerierung der Zeilen von D ist dann<br />
R = {1, . . . , 7}, und wir setzen:<br />
p(1) = 3, p(2) = (2, 1), p(3) = (2, 4), p(4) = (5, 1), p(5) = (5, 4),<br />
p(6) = (6, 1), p(7) = (6, 7).<br />
Die zweite Zeile von D ergibt sich dann als die Summe vom 6-fachen der zweiten Zeile<br />
von A und dem 5-fachen der ersten Zeile von A. Die zweite Ungleichung <strong>des</strong> Systems<br />
Dx ≤ d hat somit die Form −29x1 + 0x2 ≤ 131.<br />
Insgesamt ergibt sich (wenn wir die aus lauter Nullen bestehende zweite Spalte weglassen),<br />
das folgende System Dx ≤ d:<br />
192<br />
+x1 ≤ 7 (1)<br />
−29x1 ≤ 131 (2)<br />
−3x1 ≤ 62 (3)<br />
−27x1 ≤ 81 (4)<br />
−5x1 ≤ 38 (5)<br />
+5x1 ≤ 85 (6)<br />
+3x1 ≤ 32 (7)