aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.5 Die Phase I
Null verschiedene Pivotelemente vorhanden sind. Da wir ja nur Nichtbasisvariable
gegen degenerierte Basisvariable austauschen, also Nullen gegen Nullen tauschen,
können wir auch Pivotoperationen auf negativen Elementen zulassen.
(I.4) Falls es r ∈ {1, . . . , t} und s ∈ {1, . . . , n} gibt, so dass zqs keine künstliche Variable
ist und drs = 0 gilt, dann führe eine Pivotoperation mit dem Pivotelement drs
entsprechend Satz (9.12) durch. Wir erhalten dadurch eine neue Basis DB ′, mit
einer künstlichen Variablen weniger, setzen B := B ′ und gehen zu (I.3).
(I.5) Falls dij = 0 ∀ i ∈ {1, . . . , t} ∀ s ∈ {1, . . . , n}, für die zqs keine künstliche Variable
ist, dann hat das Gleichungssystem zB = D −1
B b − D−1
B DNzN bis auf Permutationen
der Zeilen und Spalten folgende Form:
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡
zp1 0
⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ . ⎠ = ⎣.
⎦ − ⎣
0
0
⎤
∗⎦
xN
yN
zpt
und ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡
⎤
zpt+1
⎜ ⎟
⎝ . ⎠ = ⎣∗⎦
− ⎣ ∗ ∗⎦
zpm
xN
(mit yB = (zp1 , . . . , zpt), xB = (zpt+1 , . . . , zpm), zN = (xN, yN)).
Setzen wir also die künstlichen Variablen Null, so ist der obere Teil des Gleichungssystems
yB = 0 − 0xN
unabhängig von der Belegung von xN stets erfüllt, d. h. wir können alle Zeilen
D1·, . . . , Dt· streichen. Ist I = {t+1, . . . , m} und J = {j ∈ {1, . . . , n} | zqj
künstliche Variable} so gilt
ist keine
xB = (D −1
B b)I − DIJxN
und B = (pt+1, . . . , pm) ist eine zulässige Basis von A ′ := AI· mit rang(A ′ ) = k :=
m − t.
Ist k = n, so gilt wieder P = (A, b) = {x}, und wir enden mit Antwort (b). Andernfalls
gilt k < n, und wir beenden das Verfahren mit Antwort (c), STOP! △
Die Korrektheit des Phase-I-Verfahrens (9.38) ist aufgrund der oben gemachten Bemerkungen
offensichtlich. Algorithmus (9.38) zeigt auch, dass man bei der Lösung von
linearen Programmen im wesentlichen mit der Grundversion des Simplexalgorithmus zur
Lösung von Phase II auskommt. Es ist lediglich zusätzlich etwas Buchhaltung (Einführung
künstlicher Variablen, Streichen von Spalten und Zeilen) zusätzlich durchzuführen.
Außerdem sind u. U. im Schritt (I.4) Pivotoperationen auf negativen Pivotelementen erforderlich.
Die Pivotformeln ändern sich dadurch aber nicht.
yN
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