aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
(7.28) Satz. Sei I eine Instanz eines Minimalkosten-Flussproblems mit la < ua für alle
a ∈ A und I ′ eine weitere, gemäß Gleichung (7.27) definierte Instanz. Dann gilt:
(a) Es existiert eine zulässige Lösung für I ′ . Genauer bilden
T := A ′ \ A, L := A, U := ∅
und der durch T definierte Fluss x eine zulässige Baum-Lösung von I ′ .
(b) Gilt in einer Optimallösung x von I ′ xa > 0 für einen Bogen a ∈ A ′ \ A, so existiert
kein zulässiger Fluss für I.
(c) Ist x ein optimaler zulässiger Fluss für I ′ mit xa = 0 für a ∈ A ′ \ A, so ist x
eingeschränkt auf A ein optimaler zulässiger Fluss für I. △
Beweis. Hausaufgabe. ✷
(7.29) Algorithmus Netzwerk-Simplex-Algorithmus.
Eingabe: Zusammenhängender Digraph D = (V, A), mit Kapazitäten l, u: A → R A + mit
la < ua und Kosten w ∈ R A sowie Bedarfe an den Knoten b: V → R mit
i∈V bi = 0.
Ausgabe: Ein zulässiger Fluss x, der kostenminimal unter allen zulässigen Flüssen ist,
oder die Aussage, dass kein zulässiger Fluss existiert.
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1. Initialisierung: Erstelle I ′ aus I. Alle weiteren Schritte beziehen sich auf I ′ . Setze
T := A ′ \ A, L := A, U := ∅
und bestimme den entsprechenden Fluss x.
2. Berechnung Knotenpreise: Bestimme neue Knotenpreise y durch Lösen des Gleichungssystems
(7.21) und yk = 0.
3. Optimalitätstest: Wenn es kein a ∈ L ∪ U gibt mit
a ∈ L und ¯ca < 0 oder a ∈ U und ¯ca > 0, (7.30)
dann STOP: Wenn es ein a ∈ A ′ \ A gibt mit xa > 0, dann existiert kein zulässiger
Fluss für I. Sonst gib die Einschränkung von x auf A als optimalen Fluss aus.
4. Pricing: Wähle einen Bogen e ∈ L ∪ U, der (7.30) erfüllt.
5. Augmentieren: Finde Kreis C in T + e und bestimme die Flussänderung ε gemäß
(7.18). Aktualisiere den Fluss x gemäß (7.4) und bestimme einen Bogen f, der
seine untere oder obere Kapazitätsschranke erreicht hat.
6. Update: Aktualisiere die Baum-Lösung gemäß (7.19) und gehe zu Schritt 2. △