aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
W
f
r
s
W ′
Abbildung 7.2: Situation im Beweis von Satz (7.33).
2. Fall: i ist auf dem Weg W ′ . Weil f der letzte blockierende Bogen ist, wenn C in Orientierungsrichtung
durchlaufen wird, ist kein Bogen in W ′ blockierend in der Richtung
von C. Zusammen mit Fall 1 folgt, dass kein Bogen auf dem [i, r]-Weg blockierend
ist.
3. Fall: i ist auf dem Weg W . Sei ε ≥ 0 die Augmentierungs-Menge im Augmentieren-
Schritt. Ist ε > 0, so ist x ′ auf W um ε Einheiten größer als x, also ist kein Bogen
von W in Richtung s blockierend. Gilt hingegen ε = 0, so impliziert f /∈ W , dass der
[i, s]-Weg P in T und T ′ übereinstimmt und sich darauf weder Fluss noch Richtung
zu r ändert. Wie im 1. Fall ist P daher auch in T ′ bezüglich x ′ augmentierend.
4. Fall: i ist nicht in C. Da (x, T, L, U) stark zulässig ist, ist der [i, r]-Weg augmentierend
bezüglich x. Sind P und C bogendisjunkt, so ist P auch der [i, r]-Weg in T ′ und
daher augmentierend bezüglich x ′ . Sonst sei j der erste Knoten auf P , der zu C
gehört. In T ′ ist der [i, j]-Weg augmentierend bezüglich x ′ , weil in T augmentierend
bezüglich x. Da für den Knoten j einer der ersten drei Fälle gilt, ist auch der [i, r]-
Weg augmentierend in T ′ . ✷
Das folgende Ergebnis benötigen wir für den Terminierungs-Beweis. Es ermöglicht
außerdem eine effizientere Berechnung des Knotenpreisvektors in Schritt 2 von Algorithmus
(7.29).
(7.34) Lemma. Sei (x, T, L, U) eine Baumlösung in Algorithmus (7.29) und sei y
der zugehörige Knotenpreisvektor. Seien weiterhin die Bögen e = (u, v) und f die im
Pricing- bzw. Augmentieren-Schritt gewählten Bögen und y ′ der neue Knotenpreisvektor.
Schließlich sei T1 die Zusammenhangskomponente von T − f, die r enthält und T2 :=
V \ T1. Dann gilt:
y ′ ⎧
⎪⎨ yi i ∈ T1,
i = yi + ¯xe
⎪⎩
yi − ¯xe
i ∈ T2, u ∈ T1,
i ∈ T2, u ∈ T2.
(7.35)
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