aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
Die reduzierten Kosten lassen sich, die Knotenpreise y vorausgesetzt, leichter berechnen
als die Kosten eines Kreises. Intuitiv geben die reduzierten Kosten eines Bogens an, wie
sich die Kosten des Gesamtflusses ändern, wenn man den Fluss auf dem Bogen um eine
Einheit erhöht. Sie liefern daher das folgende Optimalitätskriterium.
(7.24) Satz. Eine zulässige Baum-Lösung (x, T, L, U) ist optimal, wenn ein Knotenpreisvektor
y existiert mit
⎧
⎪⎨ = 0 a ∈ T,
¯c(a) ≥ 0
⎪⎩
≤ 0
a ∈ L,
a ∈ U. △
Beweis. Seien x ein Fluss und y ein Knotenpreisvektor. Dann gilt
¯c T (x) =
xij(cij + yi − yj)
(i,j)∈A
=
(i,j)∈A
= c T x +
xijcij +
i∈V
yi
= c T x +
yidi,
i∈V
i∈V (i,j)∈A
(i,j)∈A
xijyi −
xij −
(j,i)∈A
j∈V (i,j)∈A
xij
xijyj
d. h. die reduzierten Kosten ¯c T x eines Flusses x unterscheiden sich nur um eine Konstante
von den Kosten c T x. Ist x optimal bzgl. der reduzierten Kosten, dann ist x also auch
optimal bzgl. der ursprünglichen Kosten.
Sei nun (x, T, L, U) eine zulässige Baum-Lösung mit zugehörigem Knotenpreisvektor y
und darüber definierten reduzierten Kosten ¯c, die die im Satz genannten Voraussetzungen
erfüllen. Betrachten wir einen weiteren zulässigen Fluss x ′ . Es gilt dann:
¯c T x ′ =
x ′ a¯ca +
x ′ a¯ca +
x ′ a¯ca
a∈T
a∈L
=
x ′ a¯ca +
x ′ a¯ca
a∈L
a∈U
≥
la¯ca +
ua¯ca
a∈L
a∈U
≥
xa¯ca = ¯c T x.
a∈A
Also ist x optimal bezüglich ¯c und damit auch bezüglich c. ✷
(7.25) Folgerung. Falls für ein Minimalkosten-Flussproblem ein zulässiger Fluss existiert,
so existiert auch eine optimale zulässige Baum-Lösung. △
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a∈U