aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele
(a) (b)
Abbildung 3.10: Abbildung (a) stellt ein Telekommunikationsnetz dar. In Abbildung (b)
ist eine Optimallösung des kostengünstigsten Telekommunikationsnetzes
in diesem Graphen zu sehen.
von denen für z. B. Telekommunikationsnetze. Insbesondere sind nicht nur (Gas)Flüsse
relevant, sondern auch die Drücke des Gases an verschiedenen Stellen des Netzes. In
Rohren verringert sich der Druck des Gases wegen der Reibung am Rohr. Daher muss in
bestimmten Abständen der Druck durch sogenannte Kompressoren wieder erhöht werden.
Aus technischen Gründen gibt es außerdem Druckregler, die den Druck reduzieren,
sowie Ventile, um den Gasfluss zu steuern.
Ein Gasnetz kann (stark vereinfacht) modelliert werden als ein Digraph G = (V, A),
wobei jeder Bogen a ∈ A ein Element (Rohr, Ventil, Druckregler, Kompressor) des Gasnetzes
repräsentiert. Der Gasfluss über einen Bogen a ∈ A sei xa ∈ R, der Druck an
einem Knoten v ∈ V sei pv ∈ R+, und die Ein- bzw. Ausspeisung in v sei dv ∈ R. An
jedem Knoten v ∈ V gilt die Flusserhaltungsgleichung
dv +
xa −
xa = 0,
a∈δ − (v)
a∈δ + (v)
d. h. Gas, dass in einen Knoten hineinströmt, verlässt ihn auch wieder.
Für jedes Element a = (u, v) ∈ A gilt, je nach Elementtyp, eine Beziehung zwischen
Fluss und Druck. Für ein Rohr a = (u, v) gilt approximativ der Zusammenhang
p 2 v − p 2 u = αaxa|xa|,
wobei die Konstante αa die physikalischen Eigenschaften des Rohres abbildet. Ein Regler
a = (u, v) kann in seiner Betriebsrichtung den Druck in gewissen Grenzen unabhängig
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