aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5.5 Exkurs: Greedy-Heuristiken für das Rucksackproblem und deren Analyse
Gleichungen erfüllt sein müssen:
x(δ + (s)) =
(s,v)∈A
x(δ − (t)) =
(u,t)∈A
xsv = 1
xut = 1.
(5.33)
Jeder andere Knoten v ∈ V \ {s, t} ist nur „Durchgangsknoten“, d. h. wenn ein Bogen des
(s, t)-Weges in v hineinführt, dann geht auch ein Bogen dieses Weges hinaus. Geht kein
Bogen in v hinein, dann geht auch keiner hinaus. Also müssen die folgenden Ungleichungen
erfüllt sein:
x(δ − (v)) − x(δ + (v)) =
xuv −
xvw = 0 ∀v ∈ V \ {s, t}. (5.34)
(u,v)∈A
(v,w)∈A
Reicht dieses System von Gleichungen und Ungleichungen (5.32), (5.33), (5.34) zur Lösung
des Kürzeste-Wege-Problems aus? Benötigt man zusätzlich Ganzzahligkeitsbedingungen?
Braucht man noch mehr Ungleichungen oder Gleichungen? Denken Sie darüber
nach!
5.5 Exkurs: Greedy-Heuristiken für das Rucksackproblem
und deren Analyse
Betrachtet man das Kürzeste-Wege-Problem und die Berechnung minimaler aufspannender
Bäume, dann könnte man meinen, dass der Greedy-Algorithmus immer eine gute Methode
zur Lösung kombinatorischer Optimierungsprobleme ist. Das ist natürlich nicht so.
Wir wollen deshalb Varianten dieses Algorithmen-Typs für das Rucksackproblem (engl.:
knapsack problem) untersuchen. Das Rucksackproblem ist in einem gewissen Sinne eines
der einfachsten (aber dennoch N P-schweren) ganzzahligen Optimierungsprobleme.
Das Rucksackproblem kann folgendermaßen beschrieben werden. Gegeben seien n verschiedene
Arten von Gegenständen, die in einen Rucksack gefüllt werden sollen. Der
Rucksack hat ein beschränktes Fassungsvermögen b. Jeder Gegenstand einer Art j hat
ein „Gewicht“ aj und einen „Wert“ cj. Der Rucksack soll so gefüllt werden, dass seine
Kapazität nicht überschritten wird und der Gesamtinhalt so wertvoll wie möglich ist.
Von diesem Problem gibt es viele Varianten. Hier betrachten wir zwei von diesen.
(5.35) Definition. Seien aj, cj ∈ Z+, j = 1, 2, . . . , n und b ∈ N.
(a) Das Problem
max
n
j=1
cjxj
n
ajxj ≤ b
j=1
xj ∈ Z+
(KP)
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