aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

6 Maximale Flüsse in Netzwerken
In diesem Kapitel behandeln wir ein in sowohl theoretischer als auch praktischer Hinsicht
auß erordentlich interessantes Gebiet: Flüsse in Netzwerken. Es war früher üblich
und wird aus Traditionsgründen häufig weiter so gehandhabt, einen Digraphen mit Bogengewichten
bzw. -kapazitäten ein Netzwerk zu nennen. Sind zusätzlich zwei Knoten s
und t ausgezeichnet, so spricht man von einem (s, t)-Netzwerk. Wir wollen diese Bezeichnung
hier nur gelegentlich übernehmen, mit dem Kapiteltitel aber den historischen Bezug
herstellen. Es wird sich (später) zeigen, dass die Netzwerkflusstheorie als ein Bindeglied
zwischen der linearen und der ganzzahligen Optimierung aufgefasst werden kann. Netzwerkflussprobleme
sind (ganzzahlige) lineare Programme, für die sehr schnelle kombinatorische
Lösungsmethoden existieren. Der Dualitätssatz der linearen Programmierung
hat hier eine besonders schöne Form.
Netzwerkflüsse haben folgenden Anwendungshintergrund. Wir betrachten ein Rohrleitungssystem
(Abwasserkanäle, Frischwasserversorgung), bei dem die Rohre gewisse Kapazitäten
(z. B. maximale Durchflussmenge pro Minute) haben. Einige typische Fragen
lauten: Was ist die maximale Durchflussmenge durch das Netzwerk? Welche Wassermenge
kann man maximal pro Minute vom Speicher zu einem bestimmten Abnehmer pumpen?
Wieviel Regenwasser kann das System maximal aufnehmen? Ähnliches gilt für Telefonnetzwerke.
Hier sind die „Rohre“ die Verbindungen zwischen zwei Knotenpunkten, die
Kapazitäten die maximalen Anzahlen von Gesprächen bzw. die maximalen Datenmengen
pro Zeiteinheit, die über eine Verbindung geführt werden können. Man interessiert sich
z. B. für die maximale Zahl von Gesprächen, die parallel zwischen zwei Orten (Ländern)
geführt werden können, oder den größtmöglichen Datentransfer pro Zeiteinheit zwischen
zwei Teilnehmern.
Darüber hinaus treten Netzwerkflussprobleme in vielfältiger Weise als Unter- oder
Hilfsprobleme bei der Lösung komplizierter Anwendungsprobleme auf, z. B. bei vielen
Routenplanungs- und verschiedenen Logistikproblemen. Insbesondere werden Netzwerkflussalgorithmen
sehr häufig als Separierungsroutinen bei Schnittebenenverfahren eingesetzt,
ein Thema von ADM II und ADM III.
Das klassische Werk der Netzwerkflusstheorie ist das Buch L. R. Ford and Fulkerson
(1962). Es ist auch heute noch lesenswert. Es gibt unzählige Veröffentlichungen zur Theorie,
Algorithmik und den Anwendungen der Netzwerkflusstheorie. Durch neue algorithmische
Ansätze (Präfluss-Techniken, Skalierungsmethoden) und effiziente Datenstrukturen
sind Ende der 80er und zu Beginn der 90er Jahre sehr viele Artikel zu diesem Thema
erschienen. Gute Darstellungen hierzu sind in den umfangreichen und sehr informativen
Übersichtsartikeln Ahuja et al. (1989), V. Goldberg and Tarjan (1990) und Frank (1995)
zu finden. Ein sehr empfehlenswertes Buch ist Ahuja et al. (1993). Die beiden Handbücher
Ball et al. (1995a), Ball et al. (1995b) enthalten umfassende Informationen zur
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