aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

10 Fourier-Motzkin-Elimination und
Projektion
Wir haben nun mit dem Simplex-Algorithmus ein Werkzeug zur Hand, um lineare Programme
zu lösen. Insbesondere haben wir auch gesehen, wie wir mit dem Simplex-
Algorithmus die Frage, ob ein lineares Ungleichungssystem Ax ≤ b eine Lösung hat
oder nicht, entscheiden können. Wir werden in diesem Kapitel eine weitere Methode dafür
kennenlernen, die gänzlich anders vorgeht und diese für eine theoretische Analyse der
(Un)Zulässigkeit linearer Programme nutzen.
Wir beginnen mit der Beschreibung eines Algorithmus, der aus einer (m, n)-Matrix A
und einem Vektor b ∈ K m eine (r, n)-Matrix D und einen Vektor d ∈ K r macht, so dass
eine Spalte von D aus lauter Nullen besteht und dass gilt:
Ax ≤ b hat eine Lösung genau dann, wenn Dx ≤ d eine Lösung hat.
10.1 Fourier-Motzkin-Elimination
(10.1) Fourier-Motzkin-Elimination (der j-ten Variablen).
Eingabe: Eine (m, n)-Matrix A = (aij), ein Vektor b ∈ K m und ein Spaltenindex j ∈
{1, . . . , n} der Matrix A.
Ausgabe: Eine (r, n)-Matrix D = (dij) (r wird im Algorithmus berechnet) und ein
Vektor d ∈ K r , so dass D.j (die j-te Spalte von D) der Nullvektor ist.
1.) Partitioniere die Menge der Zeilenindizes M = {1, . . . , m} von A wie folgt:
N := {i ∈ M | aij < 0},
Z := {i ∈ M | aij = 0},
P := {i ∈ M | aij > 0}.
(Die Menge Z ∪ (N × P ) wird die Zeilenindexmenge von D.)
2.) Setze r := |Z ∪ (N × P )|, R := {1, . . . , r}, sei p : R → Z ∪ (N × P ) eine Bijektion
(d. h. eine kanonische Indizierung der Elemente von Z ∪ (N × P )).
3.) Führe für i = 1, 2, . . . , r aus:
(a) Falls p(i) ∈ Z, dann setze Di· := A p(i)·, di := b p(i) (d. h., die i-te Zeile von D ist
gleich der p(i)-ten Zeile von A).
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