aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3 Diskrete Optimierungsprobleme
und deren Gewicht maximal ist. Beim Feedback-Arc-Set-Problem sucht man eine Bogenmenge
minimalen Gewichts, deren Entfernung aus dem Digraphen alle gerichteten Kreise
zerstört. △
Die drei in (3.17) genannten Probleme sind auf einfache Weise ineinander transformierbar.
Diese Probleme haben interessante Anwendungen z. B. bei der Triangulation
von Input-Output-Matrizen, der Rangbestimmung in Turniersportarten, im Marketing
und der Psychologie. Weitergehende Informationen finden sich in Grötschel et al. (1984)
und in Reinelt (1985). Einige konkrete Anwendungsbeispiele werden in den Übungen
behandelt.
(3.18) Entwurf kostengünstiger und ausfallsicherer Telekommunikationsnetzwerke.
Weltweit wurden in den letzten Jahren (und das geschieht weiterhin) die Kupferkabel,
die Telefongespräche etc. übertragen, durch Glasfaserkabel ersetzt. Da Glasfaserkabel
enorm hohe Übertragungskapazitäten haben, wurden anfangs die stark “vermaschten”
Kupferkabelnetzwerke durch Glasfasernetzwerke mit Baumstruktur ersetzt. Diese Netzwerkstrukturen
haben jedoch den Nachteil, dass beim Ausfall eines Verbindungskabels
(z. B. bei Baggerarbeiten) oder eines Netzknotens (z. B. durch einen Brand) große Netzteile
nicht mehr miteinander kommunizieren können. Man ist daher dazu übergegangen,
Telekommunikationsnetzwerke mit höherer Ausfallsicherheit wie folgt auszulegen. Zunächst
wird ein Graph G = (V, E) bestimmt; hierbei repräsentiert V die Knotenpunkte,
die in einem Telekommunikationsnetz verknüpft werden sollen, und E stellt die Verbindungen
zwischen Knoten dar, die durch das Ziehen eines direkten (Glasfaser-) Verbindungskabels
realisiert werden können. Gleichzeitig wird geschätzt, was das Legen einer
direkten Kabelverbindung kostet. Anschließend wird festgelegt, welche Sicherheitsanforderungen
das Netz erfüllen soll. Dies wird so gemacht, dass man für je zwei Knoten
bestimmt, ob das Netz noch eine Verbindung zwischen diesen beiden Knoten besitzen
soll, wenn ein, zwei, drei ... Kanten oder einige andere Knoten ausfallen. Dann wird
ein Netzwerk bestimmt, also eine Teilmenge F von E, so dass alle Knoten miteinander
kommunizieren können, alle Sicherheitsanforderungen erfüllt werden und die Baukosten
minimal sind. Mit Hilfe dieses Modells (und zu seiner Lösung entwickelter Algorithmen)
werden z. B. in den USA Glasfasernetzwerke für so genannte LATA-Netze entworfen und
ausgelegt, siehe Grötschel et al. (1992) und Grötschel et al. (1995). Abbildung 3.10(a)
zeigt das Netzwerk der möglichen direkten Kabelverbindungen in einer großen Stadt in
den USA, Abbildung 3.10(b) zeigt eine optimale Lösung. Hierbei sind je zwei durch ein
Quadrat gekennzeichnete Knoten gegen den Ausfall eines beliebigen Kabels geschützt
(d. h. falls ein Kabel durchschnitten wird, gibt es noch eine (nicht notwendig direkte,
sondern auch über Zwischenknoten verlaufende) Verbindung zwischen je zwei dieser
Knoten, alle übrigen Knotenpaare wurden als relativ unwichtig erachtet und mussten
nicht gegen Kabelausfälle geschützt werden. △
(3.19) Betrieb von Gasnetzen. Gasnetze sind ein wichtiger Teil der europäischen Gasversorgung.
Durch die physikalischen Eigenschaften von Gasen sowie die zur Gasbeförderung
eingesetzte Technik unterscheiden sich adäquate mathematische Modelle deutlich
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