aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

3 Diskrete Optimierungsprobleme
• Bestimmung einer optimalen Durchlaufreihenfolge der Flüssigkeiten (Chargen) in
einer Mehrproduktenpipeline (Minimierung Reinigungszeiten),
• Bestimmung der optimalen Verarbeitungsfolge von Lacken in einer Großlackiererei
(Minimierung Reinigungszeiten),
• Bestimmung einer Reihenfolge des Walzens von Profilen in einem Walzwerk, so
dass die Umrüstzeiten der Walzstraße minimiert werden,
• Bestimmung der zeitlichen Reihenfolge von archäologischen Fundstätten (Grablegungsreihenfolge
von Gräbern in einem Gräberfeld, Besiedlungsreihenfolge von
Orten) aufgrund von Ähnlichkeitsmaßen (Distanzen), die durch die aufgefundenen
Fundstücke definiert werden, siehe hierzu Gertzen and Grötschel (2012).
Umfangreiche Information über das TSP, seine Varianten und Anwendungen kann man
in den Sammelbänden Lawler et al. (1985) und Gutin and Punnen (2002) finden.
(3.13) Stabile Mengen, Cliquen, Knotenüberdeckungen. Gegeben sei ein Graph
G = (V, E) mit Knotengewichten cv ∈ R für alle v ∈ V . Das Stabile-Mengen-Problem
ist die Aufgabe, eine stabile Menge S ⊆ V zu suchen, so dass c(S) maximal ist, das
Cliquenproblem die Aufgabe, eine Clique Q ⊆ V zu suchen, so dass c(Q) maximal ist,
und das Knotenüberdeckungsproblem die Aufgabe, eine Knotenüberdeckung K ⊆ V zu
suchen, so dass c(K) minimal ist. △
Die drei oben aufgeführten Probleme sind auf triviale Weise ineinander überführbar. Ist
nämlich S ⊆ V eine stabile Menge in G, so ist S eine Clique im komplementären Graphen
G von G und umgekehrt. Also ist das Stabile-Menge-Problem für G mit Gewichtsfunktion
c nicht anders als das Cliquenproblem für G mit derselben Gewichtsfunktion und
umgekehrt. Ist ferner S ⊆ V eine stabile Menge in G, so ist V \ S eine Knotenüberdeckung
von G. Daraus folgt, dass zu jeder gewichtsmaximalen stabilen Menge S die
zugehörige Knotenüberdeckung V \ S gewichtsminimal ist und umgekehrt. Das Stabile-
Menge-Problem, das Cliquenproblem und das Knotenüberdeckungsproblem sind also drei
verschiedene Formulierungen einer Aufgabe. Anwendungen dieser Probleme finden sich
z. B. in folgenden Bereichen:
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• Einsatzplanung von Flugzeugbesatzungen
• Busfahrereinsatzplanung
• Tourenplanung im Behindertentransport
• Auslegung von Fließbändern
• Investitionsplanung
• Zuordnung von Wirtschaftsprüfern zu Prüffeldern
• Entwurf von optimalen fehlerkorrigierenden Codes