aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.1 Basen, Basislösungen, Entartung
Die oben eingeführten Begriffe gehören zur Standardterminologie der linearen Programmierung.
Eine erste begriffliche Brücke zur Polyedertheorie schlägt der nächste Satz.
(9.5) Satz. Seien P = P = (A, b) ⊆ K n ein Polyeder mit rang(A) = m < n und x ∈ P .
Dann sind äquivalent
(1) x ist eine Ecke von P = (A, b).
(2) x ist eine zulässige Basislösung (d. h. es gibt eine Basis AB von A mit der Eigenschaft
xB = A −1
B b ≥ 0 und xN = 0). △
Beweis. (1) =⇒ (2) Sei I := supp(x). Ist x eine Ecke von P = (A, b), so sind die Spaltenvektoren
A·j, j ∈ I, nach (8.9) linear unabhängig. Wegen rang(A) = m gibt es
eine Menge J ⊆ {1, . . . , n} \ I, |J| = m − |I|, so dass die Spalten A·j, j ∈ I ∪ J,
linear unabhängig sind. Folglich ist AB mit B = I ∪J eine Basis von A. Nehmen wir
o. B. d. A. an, dass B aus den ersten m Spalten von A besteht, also A = (AB, AN)
mit N = {m + 1, . . . , n} gilt, dann erhalten wir aus xT = (xT B , xT N ) = (xT B , 0) folgendes:
A −1
B b = A−1
B (Ax) = A−1
B (AB, AN) xB
−1
0 = (I, AB AN) xB
0 = xB. Da x ≥ 0
gilt, ist x eine zulässige Basislösung.
(2) =⇒ (1) folgt direkt aus (8.9). ✷
Damit sehen wir, dass Ecken von P = (A, b) zulässsigen Basislösungen von Ax = b,
x ≥ 0 entsprechen. Also gibt es zu jeder Ecke eine zulässige Basis von A. Sind zwei
Ecken verschieden, so sind natürlich die zugehörigen Basen verschieden. Dies gilt aber
nicht umgekehrt!
Ecke eindeutig
←→ zulässige Basislösung nichteindeutig
←→ zulässige Basis.
Wir wollen nun Entartung und ihre Ursachen untersuchen und betrachten zunächst
drei Beispiele.
(9.6) Beispiel (Degeneration).
(a) Im K 2 gibt es keine „richtigen“ degenerierten Probleme, da man solche Probleme
durch Entfernung von redundanten Ungleichungen nichtdegeneriert machen kann.
Im folgenden Beispiel ist die Ungleichung 2x1 + x2 ≤ 2 redundant.
x1 + x2 ≤ 1
2x1 + x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
(9.7)
Das durch das Ungleichungssystem definierte Polyeder (siehe Abbildung 9.1(a)) hat
die drei Ecken E1, E2, E3. Wir formen durch Einführung von Schlupfvariablen um:
x1 + x2 + s1 = 1
2x1 + x2 + s2 = 2
x1, x2, s1, s2 ≥ 0.
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