aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4.2 Die Klassen P und N P, N P-Vollständigkeit
auch P ⊆ co−N P. Eigentlich sollte man meinen, dass Algorithmen, die raten können,
mächtiger sind als übliche Algorithmen. Trotz gewaltiger Forschungsanstrengungen seit
den 70er Jahren ist die Frage, ob P = N P gilt oder nicht, immer noch ungelöst. Meiner
Meinung nach ist dieses Problem eines der wichtigsten offenen Probleme der heutigen
Mathematik und Informatik. Das Clay Mathematics Institute hat im Jahr 2000
einen Preis von 1 Mio US$ für die Lösung des P = N P-Problems ausgesetzt, siehe:
http://www.claymath.org/millenium. Jeder, der sich mit diesem Problem beschäftigt
hat, glaubt, dass P = N P gilt. (Eine für die allgemeine Leserschaft geschriebene Diskussion
dieser Frage ist in Grötschel (2002) zu finden.) Könnte diese Vermutung bestätigt
werden, so würde das – wie wir gleich sehen werden – bedeuten, dass für eine sehr große
Zahl praxisrelevanter Probleme niemals wirklich effiziente Lösungsalgorithmen gefunden
werden können. Wir werden uns also mit der effizienten Auffindung suboptimaler Lösungen
zufrieden geben und daher auf den Entwurf von Heuristiken konzentrieren müssen.
Deswegen wird auch im weiteren Verlauf des Vorlesungszyklus viel Wert auf die Untersuchung
und Analyse von Heuristiken gelegt.
Wir haben gesehen, dass P ⊆ N P ∩ co−N P gilt. Auch bezüglich der Verhältnisse
dieser drei Klassen zueinander gibt es einige offene Fragen.
Gilt P = N P ∩ co−N P?
Gilt N P = co−N P?
Aus N P = co−N P würde P = N P folgen, da offenbar P = co−P gilt.
Die Klassenzugehörigkeit des oben erwähnten und bereits von den Griechen untersuchten
Primzahlproblems war lange Zeit offen. Dass das Primzahlproblem in co−P ist,
haben wir oben gezeigt. Rivest gelang es 1977 zu zeigen, dass das Primzahlproblem auch
in N P ist. Beginnend mit dem Sieb des Erathostenes sind sehr viele Testprogramme
entwickelt worden. Erst 2002 gelang es drei Indern, einen polynomialen Algorithmus zu
entwickeln, der in polynomialer Zeit herausfindet, ob eine ganze Zahl eine Primzahl ist
oder nicht, siehe Agrawal et al. (2004) oder URL:
http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/primality.ps
Wir wollen nun innnerhalb der Klasse N P eine Klasse von besonders schwierigen
Problemen auszeichnen.
(4.4) Definition. Gegeben seien zwei Entscheidungsprobleme Π und Π ′ . Eine polynomiale
Transformation von Π in Π ′ ist ein polynomialer Algorithmus, der, gegeben ein
(kodiertes) Problembeispiel I ∈ Π, ein (kodiertes) Problembeispiel I ′ ∈ Π ′ produziert, so
dass folgendes gilt:
Die Anwort auf I ist genau dann „ja“, wenn die Antwort auf I ′ „ja“ ist. △
Offenbar gilt Folgendes: Ist Π in Π ′ polynomial transformierbar und gibt es einen polynomialen
Algorithmus zur Lösung von Π ′ , dann kann man auch Π in polynomialer Zeit
lösen. Man transformiert einfach jedes Problembeispiel aus Π in eine Problembeispiel
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