aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
mit J ⊆ {1, . . . , n} betrachten (und prüfen, ob die Lösungen in P = (A, b) enthalten sind).
Dabei kann es zu folgenden Situationen kommen: Ist AB eine Basis von A mit (A −1
B b)i = 0
für alle i ∈ B, so gibt es nur eine einzige Möglichkeit das System Ay = b durch ein
System eT j y = 0, j ∈ J, so zu ergänzen, dass das Gesamtsystem regulär wird. Man muss
J = {1, . . . , n} \ B wählen, andernfalls sind nicht genügend Gleichungen vorhanden.
Daraus folgt speziell:
(9.9) Bemerkung. Ist x eine nichtdegenerierte Basislösung von Ay = b, y ≥ 0, dann
gibt es eine eindeutig bestimmte zu x gehörige Basis AB von A (xB = A −1
B b, xN = 0).△
Die Umkehrung gilt i. A. nicht, wie das folgende Beispiel zeigt.
(9.10) Beispiel. P = (A, b) ⊆ R 3 sei gegeben durch
A =
1 1 0
, b =
0 0 1
1
.
0
Die Matrix A besitzt zwei Basen AB1 , AB2 mit B1 = (1, 3), B2 = (2, 3). Die zu AB1
gehörige Basislösung ist xT 1 = (1, 0, 0), die zu AB2 gehörige Basislösung ist xT2 = (0, 1, 0).
Beide Basislösungen sind entartet, aber die zugehörigen Basen sind eindeutig bestimmt.△
Ist AB eine Basis von A und x die zugehörige Basislösung, so dass einige Komponenten
von A −1
b Null sind (d. h. x ist entartet), so enthält das Gleichungssystem Ay = b,
B
eT j y = 0 für alle j ∈ J = {j | xj = 0} mehr als n Gleichungen (also mehr als notwendig).
I. A. ist dann x Lösung von mehreren regulären (n, n)-Untersystemen dieses
Gleichungssystems. Man hat also keine eindeutige Zuordnung mehr von der Ecke x zu
einem Gleichungssystem der Form Ay = b, eT j y = 0 j ∈ J. Wir werden sehen, dass
Entartung zu rechentechnischen Problemen führt. Entartung kann drei Ursachen haben:
• überflüssige Variable (im Beispiel (9.10) kann x3 weggelassen werden, dann sind
alle Basislösungen nichtentartet),
• redundante Ungleichungen (Beispiel (9.6)(a)),
• geometrische Gründe (Beispiele (9.6)(b) und (9.6)(c)).
Die durch überflüssige Variablen oder redundante Ungleichungen hervorgerufene Entartung
kann i. A. beseitigt werden durch Weglassen der überflüssigen Variablen bzw. der
redundanten Ungleichungen. Es gibt jedoch Polyeder — wie z. B. die Doppelpyramide
in (9.6)(c) — die genuin entartet sind. Der Grund liegt hier darin, dass die Ecken überbestimmt
sind, d. h. es gibt Ecken x von P , in denen mehr als dim(P ) Facetten zusammentreffen.
Dann bestimmen je dim(P ) der diese Facetten definierenden Ungleichungen
eine Basis von A, die x als zugehörige Basislösung liefert. Die linearen Programme, die
als Relaxierungen von kombinatorischen Optimierungsproblemen entstehen, haben sehr
häufig stark entartete Ecken, d. h. Basislösungen mit sehr vielen verschiedenen Basen,
die diese Ecke bestimmen.
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