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(9.26) Satz (Perturbationsmethode). 9.4 Spalten- und Zeilenauswahlregeln (a) Das lineare Programm (9.1) ist genau dann lösbar, wenn das LP (9.1ε) lösbar ist für jedes ε > 0. (b) Es gibt ein ε0 > 0 derart, dass für alle 0 < ε < ε0 jede zulässige Basis von (9.1ε) zum einen eine nichtdegenerierte Basislösung von (9.1ε) bestimmt und zum anderen eine zulässige Basis von (9.1) ist. Ferner bestimmt die zu einer optimalen Basislösung von (9.1ε) gehörige Basis eine optimale Basislösung von (9.1). △ Beweis. P. Kall, „Mathematische Methoden des Operations Research“, Teubner Studienbücher, Stuttgart, 1976, S. 52–53. ✷ Aufgrund von Satz (9.26) könnte also jedes LP durch Störung in ein nichtentartetes LP umgewandelt werden, und damit wäre die Konvergenz der Grundversion des Simplexalgorithmus gewährleistet. In der Praxis wird diese Methode jedoch kaum angewendet, da das ε0 nicht einfach zu bestimmen ist und der Ansatz mit irgendeiner Zahl ε > 0 nicht zum Ziele führen muss. Ferner könnten durch eine geringe Störung des Problems durch Rundungsfehler numerische Schwierigkeiten auftreten, deren Auswirkungen nicht immer abschätzbar sind. Wir werden im nächsten Abschnitt andere Methoden zur Vermeidung des Kreiselns kennenlernen. In der Praxis werden diese häufig jedoch gar nicht implementiert, da bei praktischen Problemen trotz gelegentlicher Degeneration ein Kreiseln sehr selten beobachtet wurde. Einer der Gründe dafür dürfte darin zu sehen sein, dass der Computer durch seine begrenzte Rechengenauigkeit sozusagen „von allein“ eine Störungsmethode durchführt. So wird bei jedem Auf- oder Abrunden eine kleine Änderung des vorliegenden Programms vorgenommen, die sich positiv auf die Konvergenzeigenschaften des Simplexverfahrens auswirkt. 9.4 Spalten- und Zeilenauswahlregeln Wir wollen uns nun damit beschäftigen, wie die noch unspezifizierten Schritte des Simplexverfahrens „vernünftig“ ausgeführt werden können. (9.27) Bemerkung (Varianten der Spaltenauswahl in Schritt II.2). Sei S := {j ∈ {1, . . . , n} | cj > 0} = ∅. Folgende Regeln sind in der Literatur eingehend diskutiert worden und werden bei schlichten Implementationen des Simplexverfahrens angewendet. (1) Kleinster-Index-Regel: Wähle s = min{j ∈ S}. (2) Kleinster-Variablenindex-Regel: Wähle s ∈ S, so dass qs = min{qj ∈ N | j ∈ S}. (3) Steilster-Anstieg-Regel: Wähle s ∈ S, so dass cs = max{cj | j ∈ S}. 181
9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus (4) Größter-Fortschritt-Regel: Berechne für jedes j ∈ S zunächst λ j bi 0 = min{ aij Wähle s ∈ S, so dass gs = max{gj | j ∈ S}. | aij > 0, i = 1, . . . , m} und gj = cjλ j 0 . (5) Varianten von (4): Es gibt unzählige Varianten von (4), einige davon sind beschrieben in: • D. Goldfarb, J. K. Reid: „A practicable steepest-edge simplex algorithm“, Mathematical Programming 12 (1977), 361–371. • P. M. S. Harris: „Pivot selection methods for the Devex LP code“, Mathematical Programming 5 (1973), 1–28. • H. Crowder, J. M. Hattingh: „Partially normalized pivot selection in linear programming“, Math. Progr. Study 4 (1975), 12–25. △ Die Regel (9.27)(1) ist die rechentechnisch einfachste. Man durchläuft den Vektor c, sobald ein Index s mit cs > 0 gefunden ist, hört man auf und geht zum nächsten Schritt. Die reduzierten Kosten müssen also nicht alle berechnet werden. Dadurch wird viel Aufwand gespart, aber aufgrund der simplen Wahl von s ist die Gesamtzahl der Pivotoperationen im Vergleich zu anderen Regeln recht hoch. Ähnliches gilt für Regel (2). Hier müssen jedoch alle reduzierten Kostenkoeffizienten berechnet werden. Diese Regel ist jedoch aus einem theoretischen Grund, der noch diskutiert werden soll, interessant. Die Regel (3) ist die Regel, die bei einfachen Implementationen (keine ausgeklügelten Tricks) am häufigsten verwendet wird und bei Problemen bis zu mittleren Größenordnungen (jeweils bis zu 500 Variablen und Zeilen) recht gute Ergebnisse zeigt. Ihr liegt die Idee zu Grunde, dass diejenige Variable in die Basis genommen werden sollte, die pro Einheit den größten Zuwachs in der Zielfunktion bringt. Es kann natürlich sein, dass die Nichtbasisvariable mit dem größten Zuwachs pro Einheit nur um sehr wenige Einheiten erhöht werden kann und dass ein Wechsel zu einer anderen Basis einen wesentlich größeren Gesamtfortschritt bringt. Hierzu ist Regel (4) geschaffen. Bei ihr wird für jeden möglichen Basiswechsel der tatsächliche Zuwachs gj der Zielfunktion berechnet, und es wird der Basiswechsel vorgenommen, der den insgesamt größten Fortschritt bringt. Diese Verbesserung wird natürlich durch einen erheblichen rechnerischen Mehraufwand erkauft, bei dem es fraglich ist, ob er sich lohnt. Aufgrund von Erfahrungen in der Praxis kann gesagt werden, dass sich die trivialen Regeln (1), (2) und (3) für kleinere bis mittlere Problemgrößen bewährt haben, jedoch für große LPs, Modifizierungen von (9.27)(4), wie sie in den Literaturangaben beschrieben sind, benutzt werden. Die trivialen Regeln führen im allgemeinen zu insgesamt mehr Pivotoperationen. Die komplizierten Regeln versuchen die Anzahl der Pivotoperationen minimal zu gestalten. Hierbei ist ein wesentlich höherer Rechenaufwand erforderlich (viele Spalten von A sind zu generieren und für jede Spalte ist λ0 zu berechnen), der bei 182
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Einführung in die Lineare und Komb
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Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 1
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1.1 Einführendes Beispiel muss der
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t 2 ≤ s s ≤ 3 −s + t ≤ 1
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1.2 Optimierungsprobleme wobei u ei
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2 Grundlagen und Notation 2.1 Graph
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2.1 Graphen und Digraphen: Wichtige
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2.2 Lineare Algebra uns auf Q oder
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und meinen damit, dass A die folgen
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2.2 Lineare Algebra wie in der line
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2.3 Polyeder und lineare Programme
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(2.4) Bemerkung. Die Lösungsmenge
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V. Chvátal. Linear Programming. Fr
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3 Diskrete Optimierungsprobleme Die
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3.2 Klassische Fragestellungen der
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3.3 Graphentheoretische Optimierung
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• Schaltkreisentwurf • Standort
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Literaturverzeichnis T. L. Gertzen
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4 Komplexitätstheorie und Speicher
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4.1 Probleme, Komplexitätsmaße, L
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4.2 Die Klassen P und N P, N P-Voll
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4 4.3 Datenstrukturen zur Speicheru
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4.3 Datenstrukturen zur Speicherung
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R. E. Tarjan. Data structures and n
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5 Bäume und Wege Der Beweis ist et
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