aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus
Vollkommen überraschend war die Entdeckung eines französischen Mathematikers im
Jahre 2006, dass die ungarische Methode bereits um 1850 von Carl Gustav Jacob Jacobi
(1804 in Potsdam – 1851 in Berlin) beschrieben wurde. Siehe hierzu Abschnitt 2 in
(Grötschel, 2008) sowie Kuhn (2012) und die URLs:
http://www.lix.polytechnique.fr/~ollivier/JACOBI/jacobiEngl.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Hungarian_method
http://www.zib.de/groetschel/pubnew/paper/groetschel2008_pp.pdf
7.3 Der Netzwerk-Simplex-Algorithmus
Wie schon in der Einführung erwähnt kann der Simplexalgorithmus zur Lösung allgemeiner
linearer Optimierungsprobleme zur Lösung des Minimalkosten-Flussproblems spezialisiert
werden. Diese Netzwerk-Simplex-Algorithmen nutzen die spezielle Struktur des
Minimalkosten-Flussproblems aus, um die Operationen des Simplexalgorithmus besonders
effizient umzusetzen. Die Grundstruktur eines Netzwerk-Simplex-Algorithmus kann
jedoch auch ohne Kenntnis des Simplexalgorithmus verstanden werden. Betrachten wir
dazu das Minimalkosten-Flussproblem in der allgemeinen Form
min c T x
x(δ − (i)) − x(δ + (i)) = bi ∀i ∈ V, (7.14)
la ≤ xa ≤ ua ∀a ∈ A, (7.15)
für einen Digraphen D = (V = {1, . . . , n}, A) mit n Knoten und m Bögen. Die Bogenbewertung
c: A → R definiert „Kosten“, während die Bogenbewertungen l, u: A → R+
untere bzw. obere Schranken für den Fluss auf einem Bogen angeben und damit die
Kapazität des Bogens definieren. Die Knotenbewertung b: V → R beschreibt die Einspeisung
(bi ≥ 0, i ∈ V ) bzw. Ausspeisung (bi ≤ 0, i ∈ V ) an den Knoten. Wir nehmen in
diesem Abschnitt an, dass D zusammenhängend ist und die Beziehung
i∈V bi = 0 gilt.
In Analogie zur Terminilogie für (s, t)-Flüsse bezeichnen wir einen Vektor x ∈ RA , der
(7.14) erfüllt, als Fluss. Erfüllt x zusätzlich (7.15), so sprechen wir von einem zulässigen
Fluss.
(Optimale) zulässige Flüsse des Minimalkosten-Flussproblems lassen sich kombinatorisch
über aufspannende Bäume beschreiben, die den Fluss definieren.
(7.16) Definition (Baum-Lösung). Ein Flussvektor x zusammen mit einem aufspannenden
Baum T für D = (V, A) und Bogenmengen L, U ⊆ A heißt Baum-Lösung, wenn
gilt:
• T , L und U sind eine Partition von A,
• xa = la für alle a ∈ L,
• xa = ua für alle a ∈ U.
139