aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

4 Komplexitätstheorie und Speicherung von Graphen
(b) Die Funktion sA : N −→ N, definiert durch
sA(n) := max{Speicherbedarf von A zur Lösung von I | I ∈ Πund 〈I〉 ≤ n},
heißt Speicherplatzfunktion von A.
(c) Der Algorithmus A hat eine polynomiale Laufzeit (kurz: A ist ein polynomialer
Algorithmus), wenn es ein Polynom p : N −→ N gibt mit
fA(n) ≤ p(n) für alle n ∈ N.
Wir sagen fA ist von der Ordnung höchstens n k (geschrieben fA = O(n k )), falls
das Polynom p den Grad k hat.
(d) Der Algorithmus A hat polynomialen Speicherplatzbedarf, falls es ein Polynom
q : N −→ N gibt mit sA(n) ≤ q(n) für alle n ∈ N. △
Wir werden uns in der Vorlesung hauptsächlich mit Problemen beschäftigen, für die
polynomiale Algorithmen existieren. Wir werden aber auch Probleme behandeln, die in
einem noch zu präzisierenden Sinne „schwieriger“ sind und für die (bisher) noch keine
polynomialen Verfahren gefunden worden sind.
Eine triviale Bemerkung sei hier gemacht. Ein Algorithmus, dessen Speicherplatzfunktion
nicht durch ein Polynom beschränkt werden kann, kann keine polynomiale Laufzeit
haben, da nach Definition jede Benutzung eines Speicherplatzes in die Berechnung der
Laufzeitfunktion eingeht.
Hausaufgabe. Bestimmen Sie die Laufzeitfunktion und die Speicherplatzfunktion des
folgenden Algorithmus:
Eingabe: ganze Zahl n
1: k := 〈n〉
2: for i = 1, . . . , k do
3: n := n · n · n
4: end for
5: Gib n aus.
4.2 Die Klassen P und N P, N P-Vollständigkeit
Wir wollen nun einige weitere Begriffe einführen, um zwischen „einfachen“ und „schwierigen“
Problemen unterscheiden zu können. Wir werden dabei zunächst – aus technischen
Gründen – nur Entscheidungsprobleme behandeln und später die Konzepte auf (die uns
eigentlich interessierenden) Optimierungsprobleme erweitern. Ein Entscheidungsproblem
ist ein Problem, das nur zwei mögliche Antworten besitzt, nämlich „ja“ oder „nein“. Die
Fragen „Enthält ein Graph einen Kreis?“, „Enthält ein Graph einen hamiltonschen Kreis?“,
„Ist die Zahl n eine Primzahl?“ sind z. B. Entscheidungsprobleme. Da wir uns nicht mit
(für uns unwichtigen) Feinheiten der Komplexitätstheorie beschäftigen wollen, werden wir
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