aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
Ein Ende ist nicht abzusehen. Es gibt (zurzeit) kein global bestes Verfahren, weder bezüglich
der beweisbaren Laufzeit, noch in Bezug auf Effizienz im praktischen Einsatz.
Die Literatur ist allerdings voll mit Tabellen mit derzeitigen „Weltrekorden“ bezüglich
der worst-case-Laufzeit unter speziellen Annahmen an die Daten. Alle derzeit gängigen
Verfahren können — gut implementiert — Probleme des Typs (7.1) mit Zigtausenden
von Knoten und Hunderttausenden oder gar Millionen von Bögen mühelos lösen.
Wir haben in dieser Vorlesung nicht genügend Zeit, um auf diese Details und Feinheiten
einzugehen. Wir werden zunächst ein kombinatorisches Verfahren und die zugrundeliegende
Theorie vorstellen. Um den Algorithmus und den Satz, auf dem seine Korrektheit
beruht, darstellen zu können, führen wir einige neue Begriffe ein.
Sei x ein zulässiger (s, t)-Fluss in D und sei C ein (nicht notwendigerweise gerichteter)
Kreis in D. Diesem Kreis C können wir offenbar zwei Orientierungen geben. Ist eine
Orientierung von C gewählt, so nennen wir einen Bogen auf C, der in Richtung der
Orientierung verläuft, Vorwärtsbogen, andernfalls nennen wir ihn Rückwärtsbogen. Ein
Kreis C heißt augmentierend bezüglich x, wenn es eine Orientierung von C gibt, so dass
xa < ca für alle Vorwärtsbögen a ∈ C und dass 0 < xa für alle Rückwärtsbögen a ∈ C
gilt (vergleiche Definition (6.8)). Ein Kreis kann offenbar bezüglich beider, einer oder
keiner Richtung augmentierend sein. Sprechen wir von einem augmentierenden Kreis C,
so unterstellen wir fortan, dass eine Orientierung von C fest gewählt ist, bezüglich der C
augmentierend ist.
Die Summe der Kostenkoeffizienten der Vorwärtsbögen minus der Summe der Kostenkoeffizienten
der Rückwärtsbögen definieren wir als die Kosten eines augmentierenden
Kreises. (Wenn ein Kreis in Bezug auf beide Orientierungen augmentierend ist, können
die beiden Kosten verschieden sein!) Das zentrale Resultat dieses Abschnitts ist das
Folgende.
(7.2) Satz. Ein zulässiger (s, t)-Fluss x in D mit Wert f hat genau dann minimale
Kosten, wenn es bezüglich x keinen augmentierenden Kreis mit negativen Kosten gibt.△
Beweis. Wir beweisen zunächst nur die triviale Richtung. (Satz (7.6) liefert die Rückrichtung.)
Gibt es einen augmentierenden Kreis C bezüglich x, so setzen wir:
cij − xij (i, j) ∈ C Vorwärtsbogen,
ε := min
(7.3)
(i, j) ∈ C Rückwärtsbogen.
Definieren wir
x ′ ij :=
xij
⎧
⎪⎨ xij + ε falls (i, j) ∈ C Vorwärtsbogen,
xij − ε
⎪⎩
falls (i, j) ∈ C Rückwärtsbogen,
falls (i, j) ∈ A \ C,
xij
(7.4)
dann ist x ′ ∈ R A trivialerweise ein zulässiger (s, t)-Fluss mit Wert val(x ′ ) = f. Hat der
augmentierende Kreis C negative Kosten γ < 0, dann gilt offenbar
(i,j)∈A wijx ′ ij =
(i,j)∈A wijxij +εγ. Gibt es also einen augmentierenden Kreis bezüglich x mit negativen
Kosten, dann kann x nicht kostenminimal sein. ✷
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