aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
DISTk(u) die Länge eines kürzesten (s, u)-Weges, der als innere Knoten nur die ersten
k markierten Knoten benutzen darf. Gäbe es einen kürzeren gerichteten Weg, sagen
wir P , von s nach u, so müsste dieser einen Bogen von einem markierten Knoten
zu einem bisher nicht markierten Knoten enthalten. Sei (v, w) der erste derartige Bogen
auf dem Weg P . Der Teilweg P des Weges P von s nach w ist also ein (s, w)-
Weg, dessen innere Knoten markiert sind. Folglich gilt nach Induktionsvoraussetzung
DISTk+1(w) ≤ c(P ). Aus DISTk+1(u) ≤ DISTk+1(w) und der Nichtnegativität der Bogenlängen
folgt DISTk+1(u) ≤ c(P ) ≤ c(P ), ein Widerspruch.
Es bleibt noch zu zeigen, dass für die derzeit unmarkierten Knoten v der Wert DISTk+1(v)
die Länge eines kürzesten (s, v)-Weges ist, der nur markierte innere Knoten enthalten
darf. Im Update-Schritt 3 wird offenbar die Länge eines (s, v)-Weges über markierte
Knoten verschieden von u verglichen mit der Länge eines (s, v)-Weges über markierte
Knoten, der als vorletzten Knoten den Knoten u enthält. Angenommen es gibt einen
(s, v)-Weg P über markierte Knoten (inclusive u), dessen vorletzter Knoten w verschieden
von u ist und dessen Länge geringer ist als die kürzeste Länge der oben betrachteten
Wege. Da DISTk+1(w) die Länge eines kürzesten (s, w)-Weges ist und es einen solchen,
sagen wir P ′ , gibt, der nur markierte Knoten enthält, die verschieden von u sind (w
wurde vor u markiert), kann der (s, w)-Weg auf P nicht kürzer als P ′ sein, also ist P
nicht kürzer als die Länge von P ′ ∪ {(w, v)}. Widerspruch. ✷
In der Datenstruktur VOR merken wir uns zu jedem Knoten v seinen Vorgänger in
einem kürzesten (s, v)-Weg. Einen kürzesten (s, v)-Weg erhält man also in umgekehrter
Reihenfolge durch die Knotenfolge
v, VOR(v), VOR(VOR(v)), . . . , VOR(VOR(. . . VOR(v) . . .)).
Durch VOR ist offenbar eine Arboreszenz mit Wurzel s in D definiert. Daraus folgt sofort:
(5.19) Satz. Sei D = (V, A) ein Digraph mit nichtnegativen Bogengewichten und s ∈ V ,
dann gibt es eine Arboreszenz B mit Wurzel s, so dass für jeden Knoten v ∈ V , für den
es einen (s, v)-Weg in D gibt, der (eindeutig bestimmte) gerichtete Weg in B von s nach
v ein kürzester (s, v)-Weg ist. △
An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass der PRIM-Algorithmus (5.14) und der
DIJKSTRA-Algorithmus (5.17) (im Wesentlichen) identische Algorithmen sind. Sie unterscheiden
sich lediglich bezüglich einer Gewichtstransformation. In Schritt 3 von (5.14)
wird min{c(e) | e ∈ δ(W )} gesucht, in Schritt 2 von (5.17) wird auch ein derartiges
Minimum gesucht, jedoch sind vorher in Schritt 3 die Gewichte der Bögen des Schnittes
modifiziert worden.
Den DIJKSTRA-Algorithmus kann man ohne Schwierigkeiten so implementieren, dass
seine Laufzeit O(|V | 2 ) beträgt. Bei Digraphen mit geringer Bogenzahl kann die Laufzeit
durch Benutzung spezieller Datenstrukturen beschleunigt werden, siehe hierzu z.B. Ahuja
et al. (1993) oder Schrijver (2003).
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