aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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3.3 Graphentheoretische Optimierungsprobleme: Beispiele<br />
lösen kann. Gegeben sei also ein bipartiter Graph G = (V, E) mit Bipartition V1, V2 und<br />
Kantengewichten ce. Es gelte V1 = {u1, u2, . . . , un}, V2 = {v1, v2, . . . , vn}. Wir definieren<br />
einen Digraphen D = (W, A) mit W = {w1, . . . , wn}. Zwei Knoten wi, wj ∈ W sind genau<br />
dann durch einen Bogen (wi, wj) verbunden, wenn uivj ∈ E gilt. Das Gewicht c ′ ((wi, wj))<br />
<strong>des</strong> Bogens (wi, wj) sei das Gewicht c(uivj) der Kante uivj. Ist B eine minimale Lösung<br />
<strong>des</strong> gerichteten Zuordnungsproblems bezüglich D und c ′ , so ist<br />
M := {uivj ∈ E | (wi, wj) ∈ B}<br />
offenbar ein minimales perfektes Matching in G bezüglich der Gewichtsfunktion c. Es ist<br />
ebenfalls sofort klar, dass das gerichtete Zuordnungsproblem bezüglich D eine Lösung<br />
genau dann hat, wenn G ein perfektes Matching enthält.<br />
Gerichtetes Zuordnungsproblem −→ bipartites Matchingproblem. Schließlich wollen wir<br />
noch vorführen, dass man das gerichtete Zuordnungsproblem auf das Matchingproblem<br />
in bipartiten Graphen zurückführen kann. Gegeben sei also ein Digraph D = (W, A)<br />
mit W = {w1, . . . , wn} und Bogengewichten c((wi, wj)) für alle (wi, wj) ∈ A. Wir<br />
definieren einen bipartiten Graphen G = (V, E) mit Bipartition V1 = {u1, . . . , un},<br />
V2 = {v1, . . . , vn} und Kantenmenge E := {uivj | (wi, wj) ∈ A}. Es seien<br />
und<br />
z := n(max{|c((wi, wj))| : (wi, wj) ∈ A}) + 1<br />
c ′ (uivj) := −c((wi, wj)) + z.<br />
Nach Konstruktion gilt, dass je<strong>des</strong> Matching in G mit k Kanten ein geringeres Gewicht<br />
hat als ein Matching mit k +1 Kanten, k = 0, . . . , n−1. Daraus folgt, dass es eine Lösung<br />
<strong>des</strong> gerichteten Zuordnungproblems bezüglich D genau dann gibt, wenn je<strong>des</strong> maximale<br />
Matching M bezüglich G und c ′ perfekt ist. Ist dies so, dann ist<br />
B := {(wi, wj) ∈ A | uivj ∈ M}<br />
eine minimale Lösung <strong>des</strong> gerichteten Zuordnungsproblems mit Gewicht c(B) = −c ′ (M)+<br />
nz.<br />
(3.10) Das Matchingproblem. Die Grundversion dieses Problems ist die folgende. Gegeben<br />
sei ein Graph G = (V, E) mit Kantengewichten ce für alle e ∈ E. Ist ein Matching<br />
M von G maximalen Gewichts c(M) gesucht, so heißt dieses Problem Matchingproblem.<br />
Sucht man ein perfektes Matching minimalen Gewichts, so wird es perfektes Matchingproblem<br />
genannt.<br />
Diese Probleme können wie folgt verallgemeinert werden. Gegeben seien zusätzlich<br />
nichtnegative ganze Zahlen bv für alle v ∈ V (genannt Gradbeschränkungen) und ue für<br />
alle e ∈ E (genannt Kantenkapazitäten). Ein (perfektes) b-Matchingist eine Zuordnung<br />
xe von nichtnegativen ganzen Zahlen zu den Kanten e ∈ E, so dass für jeden Knoten<br />
v ∈ V die Summe der Zahlen xe über die Kanten e ∈ E, die mit v inzidieren, höchstens<br />
(exakt) bv ist. Das unkapazitierte (perfekte) b-Matchingproblem ist die Aufgabe ein<br />
(perfektes) b-Matching (xe)e∈E zu finden, so dass <br />
e∈E cexe maximal (minimal) ist.<br />
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