aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

gilt daher
⎛
⎜
F · E = ⎜
⎝
1 d1
. ..
.
1 dr−1
dr
dr+1 1
.
dm
. ..
9.2 Basisaustausch (Pivoting), Simplexkriterium
1
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
1 η1
. ..
.
1ηr−1
ηr
ηr+1 1
.
ηm
. ..
1
⎞
⎟ = I,
⎟
⎠
daraus folgt E = F −1 (dr = 0 war vorausgesetzt). Da F und AB invertierbar sind, ergibt
sich aus AB ′ = ABF sofort A −1
B ′ = F −1A −1
B = EA−1
B . Die übrigen Formeln ergeben sich
durch einfache Rechnung. ✷
Bei dem in Satz (9.12) beschriebenen Basisaustausch wird also von einer Basis zu einer
anderen Basis übergegangen, indem eine Nichtbasisvariable xqs und eine Basisvariable
xpr gesucht werden, so dass ars = 0 gilt. Wenn diese Bedingung erfüllt ist, kann die
Nichtbasisvariable xqs zu einer Basisvariablen gemacht werden, wobei xpr nichtbasisch
wird. Alle übrigen Basisvariablen bleiben erhalten.
(9.13) Beispiel. Wir betrachten das Gleichungssystem Ay = b gegeben durch
⎛
1
⎜
A = ⎜
⎝
0 2 − 3
2 −4 0
0
1
0
0
−1
0
1
3
11
2
0
11 ⎞
2
2 ⎟
1 − ⎠ ,
⎛ ⎞
1
⎜
b = ⎜ 2 ⎟
⎝−1⎠
2
.
2 2 − 3
2
1
0 0 0 2 1 − 1
2
2
1 − 2
Es seien B = (1, 2, 3, 4), N = (5, 6, 7), dann ist AB eine Basis von A, und es gilt
A −1
B =
⎛
1 0 2
⎞
1
⎜
⎜0
⎝0
1
0
0
−1
0 ⎟
1⎠
0 0 0 2
, A = A−1
B AN =
⎛
1 2 4
3 0 2
⎞
⎜
⎝−1
1
⎟
0 ⎠
2 −1 −1
.
Die zugehörige Basislösung ist x T B = (1, 2, 3, 4), xT N = (0, 0, 0), d. h. xT = (1, 2, 3, 4, 0, 0, 0).
Das Element a23 = 2 ist von Null verschieden. Wir können es also als Pivotelement ars
(r = 2, s = 3) wählen. Daraus ergibt sich:
B ′ = (1, 7, 3, 4), N ′ = (5, 6, 2),
⎛
1 −2 0
⎞
0
⎜
E = ⎜0
⎝
1
2 0 0 ⎟
⎠
0 0 1 0
0 1
2 0 1
, EA−1
B
= A−1
B ′ =
⎛
1 −2 2
⎞
1
⎜
⎜0
⎝
1
2 0 0 ⎟
⎠
0 0 −1 1
0 1
2 0 2
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