aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9.1 Basen, Basislösungen, Entartung
(a) Pyramide. (b) Doppelpyramide.
Abbildung 9.2: Beispiele für Degeneration im R 3 .
Also ist P = (A, b) gegeben durch:
1
A =
2
1
1
1
0
0
,
1
b =
1
. (9.8)
2
Tabelle 9.1(b) enthält die Basen von A und die zugehörigen Basislösungen.
Im obigen Falle ist jede (2, 2)-Untermatrix von A eine Basis. Dies ist natürlich nicht
immer so! Zur Ecke E1 gehören drei verschiedene Basen. Hier liegt also Entartung vor.
Alle anderen Basislösungen sind nichtdegeneriert. Die zu B = (2, 3) gehörige Basis
ist unzulässig. Zu unzulässigen Basislösungen sagt man manchmal auch unzulässige
Ecke von P = (A, b), E4 ist also eine unzulässige Ecke.
(b) Bei dreidimensionalen Polyedern im K 3 tritt echte Entartung auf. So ist z. B. die
Spitze der Pyramide in Abbildung 9.2(a) entartet, während alle übrigen vier Ecken
nichtentartet sind.
(c) Dagegen sind alle Ecken der Doppelpyramide in Abbildung 9.2(b) entartet. △
Die Sätze (9.5) und (8.9) (und ihre Beweise) sagen uns, wie Ecken von P = (A, b) mit
den Basen von AB zusammenhängen. Aus der linearen Algebra wissen wir zunächst, dass
jeder Punkt x im Kn als Durchschnitt von n Hyperebenen dargestellt werden kann, deren
Normalenvektoren linear unabhängig sind. Algebraisch ausgedrückt, jeder Punkt x ∈ Kn ist eindeutig bestimmte Lösung eines regulären (n, n)-Gleichungssystems Dy = d (mit
rang(D) = n).
Ecken von P = (A, b) erhalten wir dadurch, dass wir nur Lösungen von regulären Gleichungssystemen
Ay = b
eT j y = 0, j ∈ J
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