aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
(c) Gelten die Voraussetzungen von (b), und ist AB nichtdegeneriert, dann gilt c T x ′ >
c T x. △
Beweis. (a) Nach (9.11) gilt: y ∈ P = (A, b) ⇐⇒ yB = A −1
b − A−1
B ANyN ≥ 0 und
B
yN ≥ 0. Für beliebiges λ ≥ 0 ist daher der Vektor yλ ∈ Kn mit yλ N := λes und
yλ B := A−1
B b − Ayλ N = A−1
B b − λA·s wegen es ≥ 0 und A −1
B b − λA·s ≥ A −1
B b ≥ 0
in P = (A, b). Da cT yλ = cT BA−1 B b + cyλ N = cT BA−1 B b + λcs mit λ über alle Schranken
wächst, ist cT x auf P = (A, b) unbeschränkt.
(b) Wählen wir r und s wie im Satz angegeben, so ist ars > 0. Nach Satz (9.12) ist dann
B ′ = (p1, . . . , pr−1, qs, pr+1, . . . , pm) eine Basis mit Basislösung x ′ , wobei
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x ′ pi = bi − br
x ′ qs
ais
ars
br
=
ars
≥ 0,
x ′ i = 0 andernfalls.
Also ist x ′ eine zulässige Basislösung.
⎧
⎨
≥ bi −
⎩
bi
ais, falls ais > 0, i = r (Wahl von λ0!),
ais
≥ bi, falls ais ≤ 0,
Wir zeigen nun c T x ′ ≥ c T x. Zunächst gilt für den in Satz (9.12) definierten Vektor
η:
denn
c T B ′η − cpr = cs
ars
> 0,
0 < cs = (c T N − c T BA −1
B AN)s = cqs − c T BA·s = cqs −
= (cqs −
i=r
m
i=1
cpiais) − cprars = ars(c T B ′η − cpr),
und aus ars > 0 folgt nun die Behauptung. Somit gilt:
Hieraus folgt (b).
c T x ′ = c T B ′x′ B ′ = cTB ′A−1 B ′ b (9.12)
= c T B ′EA−1 B b = cTB ′ExB
=
i=r
cpi xpi + cT B ′ηxpr
= c T BxB + (c T B ′η − cpr)xpr
≥ c T BxB = c T x.
cpi ais