aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

Literaturverzeichnis
(P) min {c T x | Ax ≥ b, x ≥ 0} und
(D) max {y T b | y T A ≤ c T , y ≥ 0},
dann gilt Folgendes: Seien x0 ∈ R n und y0 ∈ R m Punkte mit Ax0 ≥ b, x0 ≥ 0 und
y T 0 A ≤ cT , y0 ≥ 0, dann gilt
y T 0 b ≤ c T x0. △
Beweis. Durch einfaches Einsetzen:
y T 0 b ≤ y T 0 (Ax0) = (y T 0 A)x0 ≤ c T x0. ✷
Satz (2.12) wird schwacher Dualitätssatz genannt, (D) heißt das zu (P) duale LP und
(P) wird in diesem Zusammenhang als primales LP bezeichnet. Für Optimallösungen x ∗
und y ∗ von (P) bzw. (D) gilt nach (2.12) y ∗T b ≤ c T x ∗ , das duale Problem liefert also stets
eine untere Schranke für das primale Problem. Wir werden später zeigen, dass in diesem
Falle sogar immer y ∗T b = c T x ∗ gilt. Diese starke Dualität, also das Übereinstimmen
der Optimalwerte von (P) und (D) ist allerdings nicht ganz so einfach zu beweisen wie
Satz (2.12).
Die schwache Dualität überträgt sich auch auf ganzzahlige lineare Programme, für die
jedoch im Allgemeinen kein starker Dualitätssatz gilt. Genauer gilt folgender Zusammenhang:
Literaturverzeichnis
min {c T x | Ax ≥ b, x ≥ 0, x ∈ Z}
≥ min {c T x | Ax ≥ b, x ≥ 0}
= max {y T b | y T A ≤ c T , y ≥ 0}
≥ max {y T b | y T A ≤ c T , y ≥ 0, y ∈ Z}.
Zur linearen Algebra existieren unzählige Bücher. Deswegen geben wir hierzu keine Literaturliste
an, sondern listen hier ausschließlich Literatur zur Graphentheorie und zur
linearen Programmierung.
M. Aigner. Graphentheorie: Eine Entwicklung aus dem 4-Farben-Problem. Teubner Verlag,
Studienbücher : Mathematik, Stuttgart, 1984. ISBN 3-519-02068-8.
Berge and Ghouila-Houri. Programme, Spiele, Transportnetze. Teubner Verlag, Leipzig,
1969.
B. Bollobás. Modern Graph Theory. Springer Verlag, New York, 1998. ISBN 0-387-
98488-7.
J. A. Bondy and U. S. R. Murty. Graph Theory. Springer, Berlin, 2008.
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