aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
2. Konstruiere das augmentierende Netzwerk N = (V, A, c, w) bezüglich D und x.
3. Wende einen Kürzeste-Wege-Algorithmus (z. B. den Floyd-Algorithmus (5.25)) an,
um im Digraphen N = (V, A) mit den “Bogenlängen” w(a), a ∈ A, einen negativen
gerichteten Kreis C zu finden. Gibt es keinen, dann gehe zu 5.
4. (Augmentierung entlang C)
Bestimme ε := min{c(a) | a ∈ C}, setze für a ∈ A
⎧
⎪⎨ x(a) + ε falls a1 ∈ C
x(a) := x(a) − ε
⎪⎩
x(a)
falls a2 ∈ C
andernfalls
und gehe zu 2. (Hier erhalten wir einen Fluss mit gleichem Wert und geringeren
Kosten.)
5. Ist val(x) = f, STOP, gib x aus.
6. Bestimme mit einem Kürzeste-Wege-Algorithmus (z. B. einer der Varianten des
Moore-Bellman-Verfahrens (5.20), es gibt keine negativen Kreise!) einen (s, t)-Weg
P in N mit minimalen Kosten w(P ).
7. Gibt es in N keinen (s, t)-Weg, dann gibt es in D keinen zulässigen (s, t)-Fluss mit
Wert f, STOP.
8. (Augmentierung entlang P )
Bestimme ε ′ := min{c(a) | a ∈ P }, ε := min{ε ′ , f − val(x)}, setze für a ∈ A
⎧
⎪⎨ x(a) + ε falls a1 ∈ P
x(a) := x(a) − ε
⎪⎩
x(a)
falls a2 ∈ P
andernfalls,
konstruiere das bzgl. x und D augmentierende Netzwerk N = (V, A, c, w) und gehe
zu 5. △
Die Korrektheit des Algorithmus folgt unmittelbar aus (7.6) und (7.7). Wir wollen nun
die Laufzeit abschätzen. Hat D nur nichtnegative Kosten w(a) bzw. enthält D keinen
augmentierenden Kreis mit negativen Kosten, so ist der Nullfluss eine kostenoptimaler
Fluss mit Wert Null, und die Schleife über die Schritte 2, 3 und 4 braucht nicht durchlaufen
zu werden. Sind alle Kapazitäten ganzzahlig, so wird der Flusswert in Schritt 8 um
jeweils mindestens eine Einheit erhöht. Also sind höchstens f Aufrufe einen Kürzesten-
Wege-Algorithmus erforderlich.
(7.9) Satz. Ist D = (V, A) ein Digraph mit ganzzahligen Kapazitäten c(a) und nichtnegativen
Kosten w(a), und sind s, t zwei verschiedene Knoten und f ∈ Z+ ein vorgegebener
Flußwert, so findet Algorithmus (7.8) in O(f|V | 3 ) Schritten einen kostenminimalen zulässigen
(s, t)-Fluss mit Wert f, falls ein solcher existiert. △
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