aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

Beweis. (a) Aus der Flusserhaltungsbedingung (6.1) folgt
val(x) =
a∈δ + (s)
=
a∈δ + (W )
xa −
a∈δ − (s)
xa −
a∈δ − (W )
6.1 Das Max-Flow-Min-Cut-Theorem
xa =
v∈W
a∈δ + (v)
xa −
a∈δ − (v)
(b) Seien δ + (W ) ein beliebiger (s, t)-Schnitt und x ein zulässiger (s, t)-Fluss, dann gilt
wegen (a) und (6.2):
val(x) =
a∈δ + (W )
xa −
a∈δ − (W )
xa.
xa ≤
a∈δ + (W )
xa
ca = c(δ + (W )).
Wir werden später einen kombinatorischen Beweis dafür angeben, dass der maximale
Wert eines (s, t)-Flusses gleich der minimalen Kapazität eines (s, t)-Schnittes ist. Hier
wollen wir jedoch bereits eine Vorschau auf die lineare Programmierung machen, die das
Max-Flow-Min-Cut-Theorem in einen allgemeineren Kontext einbettet. Wir präsentieren
dieses Resultat daher als Anwendung von Resultaten, die erst später in der Vorlesung im
Kapitel über lineare Optimierung behandelt werden.
Wir schreiben zunächst die Aufgabe, einen maximalen (s, t)-Flusswert in D zu finden,
als lineares Programm. Dieses lautet wie folgt:
max
a∈δ + (s)
a∈δ − (v)
xa −
a∈δ − (s)
xa −
a∈δ + (v)
xa
= x(δ + (s)) − x(δ − (s))
xa = x(δ − (v)) − x(δ + (v)) = 0 ∀v ∈ V \ {s, t},
xa ≤ ca ∀a ∈ A,
xa ≥ 0 ∀a ∈ A.
✷
(6.5)
Jede zulässige Lösung von (6.5) ist also ein zulässiger (s, t)-Fluss, und jede optimale
Lösung ein maximaler (s, t)-Fluss. Um das zu (6.5) duale lineare Programm aufschreiben
zu können, führen wir für jeden Knoten v ∈ V \ {s, t} eine Dualvariable zv und für jeden
Bogen a ∈ A eine Dualvariable ya ein. Das folgende lineare Programm ist dann (im Sinne
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