aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
und
A −1
B ′ A = EA −1
⎛
1 −2 0 0 −5 2
⎞
0
⎜
B A = ⎜0
⎝0
1
2
0
0
1
0
0
3
2
−1
0
1
1 ⎟
0⎠
−1 0
, A′ ⎛
−5 2
⎞
−2
⎜ 3
= ⎜ 2
⎝−1
0
1
1 ⎟
2 ⎟
0 ⎠ .
1
7
0 2 0 1 2
7
2 −1 1
2
Die zugehörige Basislösung ist x T B ′ = (−3, 1, 3, 5), x T N ′ = (0, 0, 0), daraus ergibt sich
x T = (−3, 0, 3, 5, 0, 0, 1). △
(9.14) Bemerkung. Die neue Basisinverse A −1
B ′ kann also wegen A −1
B ′ = EA −1
B leicht
aus A −1
B berechnet werden. Tatsächlich ist jedoch dieses „Pivoting“ der numerisch aufwendigste
und schwierigste Schritt im Simplexverfahren. Es gibt hier zahllose „Update“-
Varianten, durch die eine schnelle und numerisch stabile Berechnung von A −1
B ′ erreicht
werden soll. Insbesondere für große und dünn besetzte Matrizen (n, m ≥ 100000) (largescale-linear-programming)
gibt es spezielle Techniken. △
Die äquivalente Darstellung des Gleichungssystems Ax = b in Bemerkung (9.11) gibt
uns ebenso die Möglichkeit, die Kosten auf einfache Weise über die Nichtbasisvariablen
zu berechnen, woraus sich ein sehr einfaches Optimalitätskriterium gewinnen lässt.
(9.15) Satz. Gegeben sei ein lineares Programm in Standardform (9.1), und AB sei
eine Basis von A.
(a) Für den Zielfunktionswert c T x von x ∈ P = (A, b) gilt
c T x = c T BA −1
B b + (cT N − c T BA −1
B AN)xN.
Der Term c T := c T N − cT B A−1
B AN heißt reduzierte Kosten (von x), die Komponenten
ci von c heißen reduzierte Kostenkoeffizienten.
(b) (Simplexkriterium)
Ist AB eine zulässige Basis und sind die reduzierten Kosten nicht-positiv, d. h.
c T = c T N − c T BA −1
B AN ≤ 0,
dann ist die zugehörige Basislösung x mit xB = A −1
B b, xN = 0 optimal für (9.1).
(c) Ist AB eine zulässige Basis, und ist die zugehörige Basislösung nichtdegeneriert und
optimal, dann gilt c ≤ 0. △
Beweis. (a) Nach Satz (9.11) gilt Ax = b ⇐⇒ xB = A −1
B b − A−1
B ANxN und damit gilt
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c T x = c T BxB + c T NxN = c T B(A −1
B b − A−1
B ANxN) + c T NxN
= c T BA −1
B b + (cT N − c T BA −1
B AN)xN.