aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
von A ist, und sei N = (q1, . . . , qn−m) wie üblich definiert. Berechne
A −1
B
A = A −1
B AN,
b = A −1
B b,
c T = c T N − c T BA −1
B AN,
c0 = c T Bb.
Wie die gesamte Phase I durchgeführt wird und wie zu verfahren ist, wenn die
gewünschten Resultate nicht erzielt werden können, wird in (9.38) angegeben. Im
weiteren gehen wir davon aus, dass Phase I erfolgreich war.
Phase II: Optimierung
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(II.1) Optimalitätsprüfung
Gilt ci ≤ 0 für i = 1, . . . , n − m, so ist die gegenwärtige Basislösung optimal
(siehe (9.15)(b)). Gib den Vektor x mit xB = b, xN = 0 aus. Der Optimalwert
von (9.1) ist c T x = c T B b = c0. STOP!
(II.2) Bestimmung der Austausch- oder Pivotspalte
Wähle einen Index s ∈ {1, . . . , n − m}, so dass cs > 0 gilt. (Zur konkreten
Realisierung dieser Auswahl, falls mehrere reduzierte Kostenkoeffizienten positiv
sind, gibt es sehr viele verschiedene Varianten, die wir in Abschnitt 9.4
besprechen werden.)
(II.3) Prüfung auf Beschränktheit des Optimums
Gilt A·s ≤ 0, so ist das lineare Programm unbeschränkt (siehe (9.16)(a)),
STOP!
(II.4) Bestimmung der Austausch- oder Pivotzeile
Berechne
bi
λ0 := min
ais
| ais > 0, i = 1, . . . , m
Wähle einen Index r ∈ {1, . . . , m}, so dass gilt
br
ars
= λ0.
(Hierzu gibt es verschiedene Möglichkeiten, die wir in Abschnitt 9.4 erläutern
werden.)
(II.5) Pivotoperation, Basisaustausch