aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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0 0 − 1<br />
11<br />
T2 : 1 1 0 − 4<br />
11<br />
5 0 0 19<br />
11<br />
2 0 1 − 6<br />
11<br />
6 − 33 0 − 5<br />
11<br />
9<br />
33 0 2<br />
11<br />
− 18<br />
33 1 − 4<br />
11<br />
1<br />
3<br />
− 11 0 11<br />
9.3 Das Simplexverfahren<br />
36 − 11<br />
Als Optimallösung ergibt sich somit: x1 = 21<br />
11 , x2 = 15<br />
11 , x3 = 0, mit cT x = 36<br />
11<br />
21<br />
11<br />
2<br />
11<br />
15<br />
11<br />
. △<br />
Über die Grundversion der Simplexmethode können wir die folgende Aussage machen.<br />
(9.24) Satz. Sei (9.1) ein lineares Programm, so dass P = (A, b) = ∅ und alle zulässigen<br />
Basislösungen nicht entartet sind. Dann findet die Grundversion <strong>des</strong> Simplexalgorithmus<br />
(d. h. alle Schritte, bei denen eine nicht spezifizierte Auswahl besteht, werden in irgendeiner<br />
beliebigen Form ausgeführt) nach endlich vielen Schritten eine optimale Lösung oder<br />
stellt fest, dass das Problem unbeschränkt ist. △<br />
Beweis. Bei jedem Durchlauf <strong>des</strong> Simplexalgorithmus wird eine neue Basis erzeugt. Da<br />
jede Basislösung nicht entartet ist, hat die neue Basislösung nach (9.16)(c) einen strikt<br />
besseren Zielfunktionswert. Ist AB1 , . . . , ABi , . . . die Folge der mit dem Simplexalgorithmus<br />
generierten Basen, dann folgt daraus, dass keine Basis mehrfach in dieser Folge<br />
auftreten kann. Da die Anzahl der verschiedenen Basen von A endlich ist, ist die Folge<br />
der Basen endlich. Ist ABk die letzte erzeugte Basis, so ist sie entweder optimal oder in<br />
Schritt (II.3) wurde Unbeschränktheit festgestellt. ✷<br />
Besitzt (9.1) degenerierte Ecken, so kann es sein, dass die Grundversion <strong>des</strong> Simplexverfahrens<br />
irgendwann einmal nur noch zulässige Basen erzeugt, die alle zu derselben<br />
Ecke gehören und bei der die gleichen Matrizen A immer wiederkehren. Man sagt, das<br />
Verfahren kreist oder kreiselt. In der Tat sind Beispiele konstruiert worden, bei denen<br />
dieses Phänomen auftreten kann, siehe (9.25).<br />
(9.25) Beispiel (Kreiseln). Gegeben sei das folgende LP:<br />
max 4<br />
5x1 − 18x2 − x3 − x4<br />
16<br />
5 x1 − 84x2 − 12x3 + 8x4 ≤ 0<br />
1<br />
5x1 − 5x2 − 2<br />
3x3 + 1<br />
3x4 ≤ 0<br />
x1 ≤ 1<br />
x1, x2, x3, x4 ≥ 0<br />
Das verkürzte Tableau zur Anfangsbasis B = (5, 6, 7) der Schlupfvariablen lautet:<br />
1 2 3 4<br />
4<br />
5 −18 −1 −1 0<br />
16<br />
5 −84 −12 8 0 5<br />
1<br />
5 −5 − 2<br />
3<br />
1<br />
3 0 6<br />
1 0 0 0 1 7<br />
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