aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
Wir führen nun den Simplexalgorithmus aus. Die Pivotelemente sind in den Tableaus
gekennzeichnet.
5 2 3 4 5 6 3 4
− 1
4 3 2 −3 0 1
2 −12 1 −1 0
5
16
− 1
16
− 5
16
− 105
4
1
4
105
4
− 15
4
1
12
15
4
5
2 0 1 − 25
4 105 5 −15 0 1
− 1
6 0 6 − 1
1
4 4 3
− 5
2 1 7
− 2
3 0 2
25
4 −105 −5 15 1 7
5 6 1 4 5 6 1 2
7
4 −33 − 1
5 2 0 3
4 −15 1
5 −6 0
− 5
4 21 1
5 −3 0 3
1
6 −3 − 1
15
1
3 0 2
1
4 −6 − 2
5 9 0 3
1
2 −9 − 1
5 3 0 4
0 0 1 0 1 7 0 0 1 0 1 7
3 6 1 2 3 4 1 2
−3 3 7
5 −33 0 −1 −1 4
5 −18 0
4 −24 − 8
5 36 0 5 −12 8 16
5 −84 0 5
−2 3 3
5 −15 0 4 − 2
3
1
3
1
5 −5 0 6
0 0 1 0 1 7 0 0 1 0 1 7
Das letzte Tableau ist bis auf Spaltenvertauschung das gleiche wie das erste. Alle Basen
der oben generierten Folge gehören zur Ecke x T = (0, 0, 0, 0) des Ausgangsproblems. Die
bei der Berechnung des Beispiels benutzte Variante des Simplexverfahrens würde also
nicht nach endlich vielen Schritten abbrechen. △
Wie Satz (9.24) zeigt, funktioniert die Grundversion der Simplexmethode, gleichgültig
welche Arten von Auswahlregeln man in den Schritten (II.2) und (II.4) benutzt, wenn
alle Basislösungen nicht entartet sind. Es ist daher sinnvoll zu fragen, ob man nicht das
Ausgangsproblem so modifizieren (stören) kann, dass das neue Problem nicht entartet
ist. Dass dies geht, zeigt der folgende Satz. Wie üblich bezeichnen wir das LP max{c T x |
Ax = b, x ≥ 0} mit (9.1). Sei für ein ε T = (ε1, . . . , εn), ε > 0
180
max c T x
Ax = b + Aε
x ≥ 0.
(9.1ε)