aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB
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10 Fourier-Motzkin-Elimination und Projektion<br />
Erneute Anwendung von (10.6) liefert die Existenz einer Matrix U2 ∈ K (r2,r1) mit U2 ≥ 0<br />
und<br />
D2 = U2D1, d2 = U2d1.<br />
Setzen wir die Schlussweise fort, so erhalten wir eine Matrix Un ∈ K (rn,rn−1) mit Un ≥ 0<br />
und<br />
0 = Dn = UnDn−1, dn = Undn−1.<br />
Für die Matrix<br />
gilt dann<br />
U := Un · . . . · U1 ∈ K (rn,m)<br />
U ≥ 0, 0 = UA, dn = Ub<br />
Daraus folgt, dass jede Zeile der Matrix Dn, welche die Nullmatrix ist, eine konische<br />
Kombination von Zeilen von A ist.<br />
Wir haben uns oben überlegt, dass Ax ≤ b genau dann nicht konsistent ist, wenn<br />
Dnx ≤ dn nicht konsistent ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn es eine Komponente<br />
von dn gibt, die negativ ist, anders ausgedrückt, wenn es einen Vektor u (eine Zeile der<br />
Matrix U) gibt mit 0 T = u T A und u T b < 0. Fassen wir diese Beobachtung zusammen.<br />
(10.8) Folgerung. Es seien A ∈ K (m,n) und b ∈ K m , dann gilt: Das Ungleichungssystem<br />
Ax ≤ b hat genau dann keine Lösung, wenn es einen Vektor u ∈ K m , u ≥ 0 gibt mit<br />
u T A = 0 T und u T b < 0. △<br />
Diese (einfache) Konsequenz aus unserem Eliminationsverfahren (10.1) ist eines der<br />
nützlichsten Resultate der Polyedertheorie.<br />
Ergänzende Abschweifung<br />
Das Fourier-Motzkin-Eliminationsverfahren ist ein Spezialfall eines allgemeinen Projektionsverfahrens<br />
auf lineare Teilräume <strong>des</strong> K n .<br />
(10.9) Definition. Sei L ein linearer Unterraum von K n . Ein Vektor x ∈ K n heißt<br />
orthogonale Projektion eines Vektors x ∈ K n auf L, falls x ∈ L und (x − x) T x = 0<br />
gilt. △<br />
(10.10) Bemerkung. Sei B ∈ K (m,n) eine Matrix mit vollem Zeilenrang, L = {x ∈<br />
K n | Bx = 0}, dann ist für jeden Vektor x ∈ K n , der Vektor<br />
x := (I − B T (BB T ) −1 B)x<br />
die orthogonale Projektion auf L. △<br />
Die Fourier-Motzkin-Elimination der j-ten Variablen kann man, wie wir jetzt zeigen,<br />
als orthogonale Projektion von P (A, b) auf den Vektorraum L = {x | xj = 0} deuten.<br />
Wir zeigen nun, wie man ein Polyeder P (A, b) auf L = {y | c T y = 0}, c = 0, projiziert.<br />
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