aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
(b) D enthält genau dann einen negativen gerichteten Kreis, wenn ein Hauptdiagonalelement
von W negativ ist. △
Beweis. Zur Notationsvereinfachung bezeichnen wir die Anfangsmatrix W aus Schritt 1.
mit W 0 , die Matrix W nach Beendigung des l-ten Durchlaufs der äußeren Schleife von
Schritt 2. mit W l . Durch Induktion über l = 0, 1, . . . , n zeigen wir, dass W l genau dann
die Matrix der kürzesten Längen von (i, j)-Wegen (bzw. (i, i)-Kreisen) ist, bei denen die
Knoten 1, . . . , l als innere Knoten auftreten können, wenn D keinen negativen Kreis in der
Knotenmenge 1, . . . , l besitzt. Ist letzteres der Fall, so gilt wl ii < 0 für ein i ∈ {1, . . . , l}.
Für l = 0 ist die Behauptung offenbar richtig. Angenommen, sie ist für l ≥ 0 richtig,
und wir haben die äußere Schleife von Schritt 2. zum (l + 1)-sten Male durchlaufen. Bei
diesem Durchlauf haben wir folgenden Schritt ausgeführt.
Falls w l ij > w l i,l+1 + wl l+1,j , dann setze wl+1
ij := w l i,l+1 + wl l+1,j ,
d. h. wir haben die (nach Induktionsvoraussetzung) kürzeste Länge eines (i, j)-Weges
über die Knoten 1, . . . , l verglichen mit der Summe der kürzesten Längen eines (i, l + 1)-
Weges und eines (l + 1, j)-Weges jeweils über die Knoten 1, . . . , l. Die letztere Summe
repräsentiert also die Länge eines kürzesten (i, j)-Weges über 1, . . . , l+1, der den Knoten
l + 1 enthält. Falls diese Summe kleiner als wl ij ist, setzen wir wl+1
ij := wl i,l+1 + wl l+1,j ,
andernfalls w l+1
ij = wl ij . Daraus folgt die Behauptung, es sei denn, wl ij > wl i,l+1 + wl l+1,j
und die Verkettung, sagen wir K des (i, l + 1)-Weges mit dem (l + 1, j)-Weg ist gar kein
Weg, d. h. K ist eine gerichtete (i, j)-Kette, die einen Knoten mindestens zweimal enthält.
Die Kette K enthält natürlich einen (i, j)-Weg, sagen wir K, und K geht aus K dadurch
hervor, dass wir die in K vorkommenden gerichteten Kreise entfernen. Der Knoten l + 1
ist nach Konstruktion in einem der Kreise enthalten, also ist K ein (i, j)-Weg, der nur
Knoten aus {1, . . . , l} enthält, d. h. wl ij ≤ c(K). Aus c(K) = wl i,l+1 + wl l+1,j < wl ij folgt,
dass mindestens einer der aus K entfernten gerichteten Kreise eine negative Länge hat.
Für jeden Knoten i dieses negativen Kreises muss folglich w l+1
ii < 0 gelten. Daraus folgt
die Behauptung. ✷
Der FLOYD-Algorithmus liefert also explizit einen Kreis negativer Länge, falls ein
solcher existiert.
(5.27) Korollar. Für einen Digraphen D mit Bogengewichten, der keine negativen gerichteten
Kreise enthält, kann ein kürzester gerichteter Kreis in O(n 3 ) Schritten bestimmt
werden. △
Beweis. Wir führen den FLOYD-Algorithmus aus. Nach Beendigung des Verfahrens
ist in wii, i = 1, . . . , n die Länge eines kürzesten gerichteten Kreises, der den Knoten
i enthält, verzeichnet. Wir wählen einen Wert wii, der so klein wie möglich ist, und
rekonstruieren aus der Matrix P , wie oben angegeben, den gerichteten Kreis, der i enthält.
Dieser ist ein kürzester gerichteter Kreis in D. Diese “Nachbearbeitung” erfordert lediglich
O(n) Operationen, also ist die worst-case-Komplexität des FLOYD-Algorithmus auch die
Laufzeitschranke für das Gesamtverfahren. ✷
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