aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

6 Maximale Flüsse in Netzwerken
W Menge der markierten Knoten
U Menge der markierten, aber noch nicht überprüften Knoten
VOR (n − 1)-Vektor, in dem der Vorgänger eines Knoten v auf
einem augmentierenden [s, v]-Weg gespeichert wird
EPS (n − 1)-Vektor, zur sukzessiven Berechnung von (6.10)
Markieren und Überprüfen
2. Setze W := {s}, U := {s}, EPS(s) := +∞.
3. Ist U = ∅, dann gehe zu 9.
4. Wähle einen Knoten i ∈ U aus und setze U := U \ {i}.
5. Führe für alle Bögen (i, j) ∈ A mit j ∈ W Folgendes aus:
Ist xij < cij, dann setze
EPS(j) := min{cij − xij, EPS(i)},
VOR(j) := +i, W := W ∪ {j}, U := U ∪ {j}.
6. Führe für alle Bögen (j, i) ∈ A mit j ∈ W Folgendes aus:
Ist xji > 0, dann setze
EPS(j) := min{xji, EPS(i)},
7. Gilt t ∈ W , gehe zu 8, andernfalls zu 3.
Augmentierung
VOR(j) := −i, W := W ∪ {j}, U := U ∪ {j}.
8. Konstruiere einen augmentierenden Weg und erhöhe den gegenwärtigen Fluss um
EPS(t), d. h. bestimme j1 = |VOR(t)|, falls VOR(t) > 0, setze xj1t := xj1t+EPS(t),
andernfalls setze xtj1 := xtj1 − EPS(t). Dann bestimme j2 := |VOR(j1)|, falls
VOR(j1) > 0, setze xj2j1 := xj2j1 + EPS(t), andernfalls xj1j2 := xj1j2 − EPS(t)
usw. bis der Knoten s erreicht ist. Gehe zu 2.
Bestimmung eines minimalen Schnittes
9. Der gegenwärtige (s, t)-Fluss x ist maximal und δ + (W ) ist ein (s, t)-Schnitt minimaler
Kapazität. STOP. △
Aus den Sätzen (6.9) und (6.12) folgt, dass Algorithmus (6.13) für ganzzahlige Kapazitäten
korrekt arbeitet und nach endlicher Zeit abbricht. Sind die Daten rational, so
kann man (wie üblich) alle Kapazitäten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer
Nenner multiplizieren. Man erhält so ein äquivalentes ganzzahliges Maximalflussproblem.
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