aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

7 Flüsse mit minimalen Kosten
Damit können wir den Beweis von (7.6) beenden. Für die nach Behauptung 2 existierenden
(s, t)-Flüsse xi gilt offenbar
w T x =
k
w T xi.
i=1
Da w T x < 0 nach Behauptung 1 ist, muss einer der Werte w T xi kleiner als Null sein,
dass heißt, wir haben in N einen gerichteten Kreis mit negativen Kosten gefunden. ✷
Satz (7.2) bzw. Satz (7.6) sind Optimalitätskriterien für zulässige (s, t)-Flüsse. Man
kann beide Aussagen — was algorithmisch noch wichtiger ist — benutzen, um zu zeigen,
dass Kostenminimalität erhalten bleibt, wenn man entlang Wegen minimaler Kosten
augmentiert.
(7.7) Satz. Sei D = (V, A) ein Digraph mit gegebenen Knoten s, t ∈ V , Kapazitäten
c ∈ R A + und Kosten w ∈ R A . Sei x ein zulässiger (s, t)-Fluss in D mit Wert f, der
kostenminimal unter allen (s, t)-Flüssen mit Wert f ist, und sei N = (V, A, c, w) das
zugehörige augmentierende Netzwerk. Sei P ein (s, t)-Weg in N mit minimalen Kosten
w(P ), und sei x ein zulässiger (s, t)-Fluss in N, so dass x(a) > 0 für alle a ∈ P und
x(a) = 0 für alle a ∈ A \ P , dann ist der Vektor x ′ ∈ R A definiert durch
x ′ (a) := x(a) + x(a1) − x(a2) für alle a ∈ A
ein zulässiger (s, t)-Fluss in D mit Wert f +val(x), der kostenminimal unter allen Flüssen
dieses Wertes in D ist. △
Beweis. Trivialerweise ist x ′ ∈ R A ein zulässiger (s, t)-Fluss mit Wert f + val(x). Wir
zeigen, dass x ′ kostenminimal ist. Angenommen, dies ist nicht der Fall, dann gibt es
nach Satz (7.6) einen negativen gerichteten Kreis C ′ im bezüglich x ′ augmentierenden
Netzwerk N ′ = (V, A ′ , c ′ , w ′ ). Wir beweisen, dass dann auch ein negativer gerichteter
Kreis in N bezüglich x existiert.
Wir bemerken zunächst, dass das augmentierende Netzwerk N ′ aus N dadurch hervorgeht,
dass die Bögen aus P ⊆ A neue Kapazitäten erhalten und möglicherweise ihre
Richtung und damit ihre Kosten ändern. Sei B ⊆ P die Menge der Bögen aus A, die in
N ′ eine andere Richtung als in N haben, und sei B ′ := {(v, u) ∈ A ′ | (u, v) ∈ B}.
Wir untersuchen nun den gerichteten Kreis C ′ ⊆ A ′ in N ′ mit negativen Kosten. Gilt
C ′ ∩ B ′ = ∅, so ist C ′ in A enthalten und somit ein negativer Kreis in N. Dann wäre x
nach Satz (7.6) nicht kostenoptimal, was unserer Voraussetzung widerspricht. Wir können
daher annehmen, dass C ′ ∩ B ′ = ∅ gilt.
Der Beweis verläuft nun wie folgt. Wir konstruieren aus dem (s, t)-Weg P und dem
gerichteten Kreis C ′ einen (s, t)-Weg Q ⊆ A und einen gerichteten Kreis K ′ ⊆ A ′ mit
den Eigenschaften
134
w(P ) + w ′ (C ′ ) ≥ w(Q) + w ′ (K ′ )
|C ′ ∩ B ′ | > |K ′ ∩ B ′ |.