aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
(d) Setze A := A, b := b, c := c und gehe zu (II.1). △
(9.19) Bemerkung (Die Tableauform der Simplexmethode.). Zur Veranschaulichung
der Simplexmethode (nicht zur Verwendung in kommerziellen Codes) benutzt man
manchmal ein Tableau T . Das Tableau entspricht dem Gleichungssystem
cT cT x
x =
A b
△
bzw. bei gegebener Basis AB von A und geeigneter Permutation der Spalten dem System
c T N − cT B A−1
B AN
A −1
B AN
0
I
xN
xB
=
c T x − c T B A−1
B b
A −1
B b
(9.20) Definition. Ist max{cT x | Ax = b, x ≥ 0} ein LP in Standardform und ist AB
eine zulässige Basis von A, so heißt die (m + 1, n + 1)-Matrix
cT − cT BA −1
B A, −cT BA−1 B b
TB :=
A −1
B
A, A−1
B b
ein Simplextableau zur Basis B mit Zeilen i = 0, 1, . . . , m und Spalten j = 1, . . . , n+1.△
Da ein Simplextableau stets eine volle (m, m)-Einheitsmatrix enthält, ist eine solche
Darstellung für den Rechner redundant. Zum Kennenlernen der Simplexmethode und zur
Übung der Rechentechnik ist sie allerdings sehr nützlich.
(9.21) Satz (Update-Formeln für ein Simplextableau.). Sei TB ein Simplextableau
zur Basis B. Ist qs ∈ N, so daß B ′ = (p1, . . . , pr−1, qs, pr+1, . . . , pm) wieder eine zulässige
Basis ist, so gelten für das Simplextableau TB ′ folgende Transformationsregeln
oder
mit
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⎛
E ′ ⎜
= ⎜
⎝
(TB ′)i· = (TB)i· − ais
(TB)r·, für i = 0, . . . , m, i = r,
(TB ′)r· = 1
(TB)r·
ars
ars
1 η ′ 0
. ..
.
1 η ′ r−1
η ′ r
η ′ r+1 1
.
η ′ m
TB ′ = E′ · TB
. ..
1
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
η ′ (TB)is
i = − , i = r
ars
η ′ r = 1
ars
(a)
(b)