aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

5 Bäume und Wege
(a) F. Schiller. (b) Vierwaldstätter See. (c) W. Tell.
Abbildung 5.2: Mathematik in der Belletristik: Schillers Schauspiel „Wilhelm Tell“.
gegeben ist. Ferner seien ein Startknoten s und möglicherweise ein Endknoten t gegeben.
Das Verfahren findet einen kürzesten gerichteten Weg von s zu allen anderen Knoten
bzw. einen kürzesten (s, t)-Weg.
Der Algorithmus wird häufig als Markierungsmethode bezeichnet. (Warum, wird aus
dem Weiteren klar.) Seine Idee kann man wie folgt beschreiben.
Wir beginnen im Startknoten s, markieren s und ordnen s die permanente Distanz
Null (= Länge des kürzesten Weges von s zu sich selbst) zu. Alle übrigen Knoten v
seien unmarkiert, und wir ordnen ihnen als temporäre Distanz (= Länge des kürzesten
bisher gefundenen (s, v)-Weges) entweder +∞ oder die Länge des Bogens (s, v), falls
dieser in D existiert, zu. Der unmarkierte Knoten mit der kleinsten temporären Distanz
ist dann der Knoten, der am nächsten zu s liegt. Nennen wir den Knoten u. Da alle
Bogenlängen nicht-negativ sind, ist der Bogen (s, u) der küzeste Weg von s nach u. Wir
markieren daher u und erklären die temporäre Distanz von u als permanent, weil wir
den (global) kürzesten (s, u)-Weg gefunden haben. Nun bestimmen wir alle Nachfolger
v von u und vergleichen die temporäre Distanz von v mit der permanenten Distanz von
u plus der Länge des Bogens (u, v). Ist diese Summe kleiner als die bisherige temporäre
Distanz, wird sie die neue temporäre Distanz, weil der bisher bekannte Weg von s nach
v länger ist als der Weg von s über u nach v. Wir wählen nun wieder eine kleinste der
temporären Distanzen, erklären sie als permanent, da der bisher gefundene Weg durch
Umwege über andere Knoten nicht verkürzt werden kann, markieren den zugehörigen
Knoten und fahren so fort bis entweder alle Knoten oder der gesuchte Endknoten t
markiert sind. Etwas formaler kann man diesen Algorithmus wie folgt aufschreiben.
(5.17) DIJKSTRA-Algorithmus.
Eingabe: Digraph D = (V, A), Gewichte c(a) ≥ 0 für alle a ∈ A, ein Knoten s ∈ V
(und möglicherweise ein Knoten t ∈ V \ {s}).
Ausgabe: Kürzeste gerichtete Wege von s nach v für alle v ∈ V und ihre Länge (bzw. ein
kürzester (s, t)-Weg).
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