aktuelle Version des Vorlesungsskripts - ZIB

9 Die Grundversion des Simplex-Algorithmus
(9.41) Bemerkung. Liegen Probleme mit nicht vorzeichenbeschränkten Variablen vor,
so wendet man die Transformationsregeln (2.5) aus Kapitel 2 an, um das Problem in ein
LP mit vorzeichenbeschränkten Variablen zu transformieren. △
Zur Auffindung einer Anfangslösung gibt es noch andere Varianten (z. B. die M-
Methode), jedoch wird in kommerziellen Codes meist die Zweiphasenmethode verwendet.
(9.42) Beispiel (für Phase II). Gegeben sei das folgende lineare Programm in Standardform
max x1 − x2 + 2x3
2x1 − 3x2 + x3 = 3
−x1 + 2x2 + x3 = −1
3x1 − 5x2 = 4
x1, x2, x3 ≥ 0
Durch Multiplikation der zweiten Zeile mit −1 machen wir die rechten Seiten nichtnegativ.
Es gilt dann 1 T A = (6, −10, 0), 1 T b = 8. Wir stellen nun unser Simplextableau auf,
wobei wir künstliche Variablen s1, s2, s3 einführen. Wir fügen dem Simplextableau eine
neue oberste Zeile für die künstliche Zielfunktion hinzu.
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x1 x2 x3 s1 s2 s3
6 −10 0 0 0 0 0 ← künstliche Zielfunktion
1 −1 2 0 0 0 0 ← akt. Zielfunktion
T0 : s1 2 −3 1 1 0 0 3
s2 1 −2 −1 0 1 0 1
s3 3 −5 0 0 0 1 4
0 2 6 0 −6 0 −6
0 1 3 0 −1 0 −1
T1 : s1 0 1 3 1 −2 0 1
x1 1 −2 −1 0 1 0 1
s3 0 1 3 0 −3 1 1