Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

166 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
Alle Bandsymbole bleiben unverändert:
(8)
Es gilt:
(u t y ∧ s t j,r) → s t+1
j,r
für alle j = 0, . . .,k
und alle r = −p(n), . . . , p(n) − 1.
Wenn alle Klauseln (5)–(8) zu φw hinzugefügt worden sind, wird der
Übergang Nr. y korrekt ausgeführt. Damit ist die Konstruktion von φw
vollständig.
φw ist erfüllbar ⇐⇒ M akzeptiert die Eingabe w.
In der Tat ergibt jede akzeptierende Berechnung von w eine Belegung der
Variablen von φw für die alle Teile der Konjunktion true sind, also w = true:
wir setzen qt i = true, falls die Berechnung M zur Zeit t den Zustand qi
hatte, analog mit kt r und stj,r ; wir setzen uty = true, falls der Übergang Nr.
y im Schritt t durchgeführt wurde. Umgekehrt beschreibt jede Belegung der
Variablen von φw, für die alle Teile der Konjunktion von φw true sind, eine
akzeptierende Berechnung von w.
Wie viel Zeit benötigen wir, um φw zu konstruieren?
Der Teil (1) braucht O(p(n)) Symbole (also O(p(n)) Zeiteinheiten), dasselbe
gilt für den Teil (2). Es läßt sich leicht zeigen, dass die Randbedingungen nur
O(p(n) 2 ) Symbole benötigen. Der letzte Teil, der die d Übergänge repräsentiert,
braucht
O(p(n)) Symbole für (5)
O(1) Symbole für (6)
O(p(n)) Symbole für (7) und
O(p(n)) Symbole für (8),
und da d eine Konstante ist, brauchen wir für den letzten Teil O(p(n)) Symbole.
Also reichen insgesamt
O(p(n) 2 ) Symbole.
Es folgt, dass die Konstruktion von φw höchstens O(p(n) 2 ) Schritte verlangt.
Bemerkung 2. Die Idee, dass eine Sprache L genau dann zu N P gehört, wenn
angebotene Lösungen in polynomialer Zeit überprüft werden können, läßt sich sich
durch den Begriff Zertifikat formalisieren. Z.B. ist für 3-FÄRBUNG ein Zertifikat
eines ungeordneten Graphen eine Färbung (korrekt oder nicht) seiner Knoten mit
drei Farben. Wir formen die Sprache Lcheck aller Wörter wz, wobei w ein Code
eines Graphen ist und z ein Code seines Zertifikates, das korrekt ist. Diese Sprache
gehört der Klasse P an, denn für jeden Graphen und jede Färbung ist die Korrektheit
effizient überprüfbar. Wichtig ist hier, dass die angebotenen Lösungen nicht
” komplizierter“ zu codieren sind als die Eingaben selbst. Genauer: für die Wörter
wz (w – Eingabe, z - Zertifikat) nehmen wir an, dass die Länge z des Wortes z
durch p(w), wobei p(n) ein Polynom ist, begrenzt werden kann:
Definition. Für eine Sprache L ⊆ Σ ∗ heißt eine Sprache Lcheck eine Zertifikatensprache,
falls
1. Lcheck in P liegt und
2. es gibt ein Polynom p(n), so dass für jedes Wort w über Σ der Länge n gilt:
w ∈ L ⇐⇒ wz ∈ Lcheck für irgendein Wort z der Länge ≤ p(n).