Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

92 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
1. Die Zahl n auf Band 1 wird mit der Zahl m auf Band 2 verglichen. Falls n ≤ m
ist, hält die Maschine, ohne zu akzeptieren.
2. Falls n > m, wird n auf Band 3 kopiert.
3. Band 2 wird von Band 3 abgezogen, bis auf Band 3 der Rest der Division von
n durch die Testzahl steht. Dann hält die Maschine.
4. Falls Band 3 leer ist, wird die Eingabe akzeptiert, falls Band 3 nicht leer ist,
wird sie nicht akzeptiert.
Wir sehen, dass die Testzahl m eine beliebige Zahl m = 2, 3, 4, . . . sein kann. Die
Eingabe n wird genau dann akzeptiert, wenn es ein m < n gibt, das n teilt.
Beispiel 3. Simulation eines Kellerautomaten
Wir können einfach jeden Kellerautomaten durch eine nichtdeterministische 2-
Band-Turingmaschine M simulieren, bei der auf Band 1 die Eingabe des Kellerautomaten
und auf Band 2 der Kellerinhalt steht. M hat ein zusätzliches Gedächtnis, in
dem die Übergangsregeln des Kellerautomaten notiert werden. Am Anfang schreibt
die NTM das Symbol k0 auf Band 2. Jede Übergangsregel
(q, s, k) → (q ′ , k1 . . . kn), s ∈ Σ,
des Kellerautomaten wird wie folgt simuliert:
Band 1
Band 2
s ′ . . . s ′′ s . . .
⇑
k ′ . . . k ′′ k . . .
⇑
Übergang
s ′ . . . s ′′ s . . .
⇑
. . .
k1 kn k ′ k
⇑
′′ . . .
Falls die Maschine M im Zustand q die Symbole s (Band 1) und k (Band 2) liest,
ändert sie ihren Zustand zu q ′ , bewegt den Kopf 1 einen Schritt nach rechts und
macht folgendes auf Band 2:
1. Falls n = 0 (also k1 . . . kn = ε), wird k von kn überschrieben, und der Kopf 2
schreibt, sich nach links bewegend, die Symbole kn−1, . . . , k1.
2. Falls n = 0, löscht Kopf 2 das Symbol k und bewegt sich einen Schritt nach
rechts.
Analog wird jede spontane Übergangsregel
(q, #, k) → (q ′ , k1 . . .kn)
simuliert: der einzige Unterschied ist, dass hierbei Kopf 1 stehenbleibt.
Satz 1. Jede NTM kann durch eine (deterministische) TM simuliert werden.
Beweis. Sei M eine NTM, und sei r eine Zahl, so dass es für jedes Paar (q, s) aus
Q × (Σ ∪ {#}) höchstens r Übergänge (q, s) → (q ′ , s ′ ) gibt. Dann können wir die
Übergänge durchnummerieren:
(q, s) → (q ′ i, s ′ i) für i = 1, 2, . . .,r
(Wiederholungen sind erlaubt). Die einzige Ausnahme ist δ(q, s) = ∅ (Haltekonfiguration).
Wir simulieren M mit einer 4-Band-TM wie folgt: Band 1 ist das Eingabeband mit
einem read-only Kopf. Auf Band 2 werden systematisch alle Zahlen k = 0, 1, 2, 3, . . .