Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

94 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
sie kann das Ergebnis einfach auf das Band schreiben. Allgemein können wir Berechnungen
von Funktionen von Σ ∗ nach Γ ∗ formalisieren, wobei Σ das Alphabet
ist, in dem die Eingaben codiert werden, und Γ das Alphabet der Ausgaben.
Definition. Wir sagen, eine Turingmaschine M berechnet die Funktion
f : Σ ∗ → Γ ∗
falls das Eingabealphabet von M die Menge Σ∪Γ enthält, die Maschine M auf jede
Eingabe w aus Σ ∗ hält und der Bandinhalt dann gleich f(w) ist.
Beispiel 1. Die Funktion
f(n) = 2n,
wobei n unär (über Σ = {|}) dargestellt ist, wird von der folgenden TM berechnet:
falls das erste Symbol # ist (also n = 0), hält die TM. Falls das erste Symbol | ist,
löscht die Maschine dieses Symbol, geht nach links, schreibt | vor das letzte Symbol
| am linken Wortrand, geht nach rechts und schreibt das gelöschte Symbol | wieder
(q0, |) → (q1, #)
(q1, #) → (q2, L)
(q2, |) → (q2, L)
hin usw.: (q2, #) → (q3, |)
(q3, |) → (q3, R)
(q3, #) → (q4, |)
(q4, |) → (q0, R)
Genauer, die TM
M = ({q0, q1, q2, q3, q4, qF }, {0, 1}, δ, q0, qF ),
deren Übergangsfunktion δ oben gegeben ist, berechnet die Funktion f(n) = 2n.
Beispiel 2. Die Funktion
f : Σ ∗ → {|} ∗
der Länge der Worte
f(s1s2 . . . sn) = n (unär dargestellt)
wird von der folgenden TM berechnet:
M = ({q0}, Σ ∪ {|}, δ, q0, q0),
wobei δ wie folgt definiert wird
(q0, x) → (q0, |) für alle x ∈ Σ
(q0, |) → (q0, R)
Bemerkung. 1. Wie im Fall von Sprachenakzeptanz können wir auch für Funktionen
den Begriff der TM modifizieren und zum Beispiel eine Mehrband-TM
benutzen. Es ist dann üblich, Band 1 als Eingabeband und Band 2 als Ausgabeband
(mit Inhalt f(w), nachdem die TM hält) zu verwenden.
2. Der Finalzustand spielt bei Berechnungen keine Rolle (und könnte, für diese
Anwendung der TM, aus der Definition entfernt werden).
3. Für Funktionen zweier (oder mehrerer) Variablen werden die verschiedenen
Variablen voneinander durch eine leere Zelle getrennt. Also zum Beispiel eine
Funktion f(w1, w2) zweier Variabler aus Σ ∗ mit Werten in Γ ∗ wird von einer
TM berechnet, falls die TM auf jede Eingabe w1#w2 mit Bandinhalt f(w1, w2)
hält.
Beispiel 3. Addition. Wir wollen die Funktion
f(n, m) = n + m (unär dargestellt)
durch eine TM berechnen: es genügt, das erste Symbol ” |“ zu streichen und die
Lücke, die die zwei Variablen voneinander trennt, durch ” |“ zu ersetzen: