Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

106 KAPITEL 4. CHURCHSCHE THESE
[uqav] ⊢ [u ′ q ′ a ′ v ′ ] genau dann, wenn [u ′ q ′ a ′ v ′ ] ⇒ [uqav].
(Also beschreibt die Ableitung in der Grammatik G die Berechnung rückwärts.)
Wir benutzen die Bandsymbole Σ der TM als terminale Symbole und die folgenden
Variablen:
V = Q ∪ {S, #, [, ]};
wir setzen V ∩ Σ = ∅ wie üblich voraus. Also
G = (Σ, V, S, R),
und die Produktionen R entsprechen den Möglichkeiten von ⊢ (siehe Tabelle 3.1 in
Abschnitt 3.1):
1. Für jede Übergangsregel (q, s) → (q ′ , s ′ ) der TM mit s ′ in Σ ∪ {#} haben
wir die Folgekonfigurationen [uqsv] ⊢ [uq ′ s ′ v], und wir benötigen also die
Produktion (in der Gegenrichtung)
(1) q ′ s ′ → qs.
2. Für jede Übergangsregel (q, s) → (q ′ , R) der TM haben wir die Folgekonfigurationen
[uqsv] ⊢ [usq ′ v] falls v = ε
und
[uqs] ⊢ [usq ′ #] falls v = ε.
Wir benötigen dafür die Produktionen
(2) sq ′ → qs
(3) sq ′ #] → qs]
3. Für jede Übergangsregel (q, s) → (q ′ , L) brauchen wir die Produktionen
(4) q ′ s ′ s → s ′ qs ∀s ′ ∈ Σ ∪ {#}
(5) [q ′ #s → [qs
Nehmen wir jetzt an, dass die TM ein Wort s1 . . .sn über Σ akzeptiert, und
dass sie ihr Eingabeband löscht, bevor sie hält. Dann haben wir eine Berechnung,
die mit der Initialkonfiguration [q0s1 . . . sn] beginnt und mit der
Finalkonfiguration [qF#] endet. Das heißt, aufgrund der Produktionen (1) -
(5) gibt es eine Ableitung (in der Gegenrichtung!)
[qF#] ⇒ . . . ⇒ [q0s1 . . . sn].
Wir fügen jetzt drei Produktionen hinzu, so dass wir dann vom Startsymbol
S das Wort s1 . . . sn ableiten:
(6) S → [qF#]
(7) [q0 → ε
(8) ] → ε
Wir haben also die Grammatik
GM = (Σ, V ∪ {#, [, ], S}, S, R)
mit den Produktionen (1) - (8). Wir beweisen jetzt, dass sie die Sprache L(M)
erzeugt.
Satz 1. Falls M eine TM ist, die ihr Band immer löscht, bevor sie hält, dann gilt
für die obige Grammatik GM, dass L(M) = L(GM).
Beweis. 1. Jedes Wort w = s1 . . .sn, das M akzeptiert, ist aus GM ableitbar,
das heißt, L(M) ⊆ L(GM). In der Tat, für eine gegebene Berechnung,
die in der Konfiguration [q0s1 . . . sn] beginnt und in [qF#] endet, seien k0 =
[q0s1 . . . sn] ⊢ k1 ⊢ . . . ⊢ kM = [qF#] die Konfigurationen der Berechnung.
Dann gilt
S ⇒ [qF#] ⇒ kM−1 ⇒ kM−2 ⇒ · · · ⇒ k1 ⇒ [q0s1 . . . sn] ⇒ ∗ s1 . . .sn,
wobei am Anfang die Produktion (6) und am Ende die Produktionen (7) und
(8) verwendet wurden. Also gehört s1 . . . sn zu L(GM).