Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

4.5. REKURSIVE FUNKTIONEN 115
wir jetzt mit partiellen Funktionen (das ist nicht überraschend, denn die Turingberechenbaren
Funktionen sind im allgemeinen auch partiell).
Definition. Für jede partielle (k+1)-stellige Funktion f(n1, . . .,nk, nk+1) bezeichnen
wir mit µf die folgende partielle k-stellige Funktion:
µf(n1, . . . , nk) ist die kleinste Zahl i mit f(n1, . . . , nk, i) = 0;
falls keine solche Zahl i existiert, ist µf(n1, . . .,nk) undefiniert.
Eine Funktion heißt rekursiv (oder µ-rekursiv), wenn sie durch die Basisfunktionen
und endlich viele Anwendungen von
1. Verknüpfung,
2. primitiver Rekursion und
3. Minimierung µ
definiert werden kann.
Beispiel 10. Diepartielle Vorgängerfunktion
n − 1 falls n > 0
pred(n) =
undef. für n = 0
ist rekursiv, denn für die Funktion
f(n, m) = (succm) ˙− n
(siehe Beispiel 8) gilt
pred(n) = µ((succm) ˙− n).
Beispiel 11. Die Subtraktion
n − m falls n ≥ m
sub(n, m) =
undef. falls n < m
ist rekursiv: wir haben
sub(n, 0) = n
sub(n, m + 1) = pred(sub(n, m)),
also ist sub primitiv-rekursiv durch g(n) = π1 1 (n) und h(n, m, i) = pred(i) =
pred(π3 3(n, m, i)) definiert (g und h sind rekursiv).
Beispiel 12. Die Division
k falls n = mk
n : m =
undef. falls n nicht durch m teilbar ist
ist rekursiv. Der erste Versuch wäre, n : m als µ(n − m ∗ k) zu definieren, denn
n − m ∗ k = 0 genau dann, wenn k = n : m. Das ergibt leider 0 : 0 = 0. Deswegen
müssen wir n − m ∗ k durch n − (succ(pred(m)) ∗ k ersetzen:
n : m = µf(n, m)
für
f(n, m, k) = n − succ(pred(m)) ∗ k = sub(n, mal(succ(pred(m))), k).
Jetzt gilt: die Division durch m = 0 ist undefiniert, für m > 0 ist f(n, m, k) =
n − m ∗ k und µf(n, m) = n : m genau dann, wenn n : m definiert ist.
Satz 2. Jede rekursive Funktion ist Turing-berechenbar.
Beweis. Es genügt zu den Punkten 1. - 3. aus Satz 1 einen vierten Punkt hinzuzufügen:
4. Falls f Turing-berechenbar ist, so ist es auch µf.