Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.12. RAUMKOMPLEXITÄT 185
2. Es gilt
PT IME ⊆ PSPACE
denn in einem Schritt kann eine TM nur ein Bandfeld besuchen. Es folgt, dass
Probleme wie 2-FÄRBUNG, 2-ERFÜLLBARKEIT usw. in PSPACE liegen.
3. Das Problem der UNIVERSALITÄT REGULÄRER AUSDRÜCKE (Beispiel
6 in 6.2) gehört nicht zur Klasse PSPACE.
4. Die Klasse ” N PSPACE “, die zu N PT IME analog wäre, brauchen wir nicht
einzuführen:
Satz 1 (Savitch-Satz). Jede nichtdeterministische Turingmaschine mit polynomialer
Raumkomplexität kann durch eine (deterministische) Turingmaschine mit polynomialer
Raumkomplexität simuliert werden.
Beweis. Sei M eine NTM mit Raumkomplexität p(n) > n, dann konstruieren wir
eine (deterministische) Turingmaschine M ∗ , mit der Raumkomplexität O(p 2 (n)),
die dieselbe Sprache akzeptiert. Wir können annehmen, dass M das Band löscht,
bevor sie im finalen Zustand hält. Dann ist (qF,#) die einzige akzeptierende Konfiguration.
Es gibt eine Konstante C, so dass die Berechnung eines Wortes der Länge n höchstens
2 Cp(n)
Konfigurationen durchläuft. In der Tat haben die Konfigurationen die Form
(q, s1 . . . si . . . s p(n)),
wobei q ein Zustand ist, s1 . . .s p(n) ist der Inhalt des Bandes und i ist die Kopfposition.
Falls die Maschine
r Zustände
und
m Symbole in Σ ∪ {#}
hat, ist die Zahl der Konfigurationen gleich r (für Zustände q) mal p(n) (für Kopfpositionen
i) mal der Zahl m p(n) aller Wörter s1 . . . s p(n) über Σ ∪ {#}. Es gilt
für eine geeignete Konstante C.
rp(n)m p(n) < rm p(n) m p(n) = rm 2p(n) < 2 Cp(n)
Es folgt, dass für jedes von M akzeptierte Wort s1 . . . sn sn eine akzeptierende
Berechnung von höchstens 2 Cp(n) Schritten existiert. In der Tat, nehmen wir die
kürzeste akzeptierende Berechnung von s1 . . . sn, dann wird keine der 2 C p(n) Konfigurationen
wiederholt. Es gilt:
M akzeptiert s1 . . . sn genau dann, wenn (q0, s1 . . . sn) ⊢ ∗ (qF , #).
Und das können wir durch die Begrenzung 2 Cp(n) der Zahl der Schritte wie folgt
verschärfen:
Für zwei Konfigurationen K und K ′ schreiben wir
REACH(K, K ′ , i) = true