Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

6.4. ROBUSTHEIT DER KLASSE P 147
hat eine einzige starke Komponente.
x•
y
•
•z •t
¬x • ¬y •
• ¬z
• ¬t
Notation. Für zwei Sprachen L und L0 schreiben wir
L ⊳ L0
falls L auf L0 in polynomialer Zeit reduzierbar ist. (Das Zeichen ⊳ ist dem Zeichen
≤ ähnlich und deutet an, dass die Komplexität von L kleiner gleich der von L0 ist.)
Satz 2. Die Relation ⊳ ist transitiv: für Sprachen Li ⊆ Σ∗ i (i = 1, 2, 3) gilt
L1 ⊳ L2 ⊳ L3 =⇒ L1 ⊳ L3.
Beweis. Aus L1 ⊳ L2 folgt, dass eine Funktion f1 : Σ∗ 1 → Σ∗2 der Klasse FP
x ∈ L1 ⇐⇒ f1(x) ∈ L2 erfüllt; aus L2 ⊳ L3 folgt, dass eine Funktion f2 : Σ∗ 2 → Σ∗3 der Klasse FP y ∈ L2 ⇐⇒ f2(y) ∈ L3 erfüllt. Sei
die Verknüpfung von f1 und f2. Es gilt
h : Σ ∗ 1 → Σ∗3 , h(x) = f2(f1(x))
x ∈ L1 ⇐⇒ f1(x) ∈ L2 ⇐⇒ h(x) = f2(f1(x)) ∈ L3.
Also bleibt nur zu zeigen, dass h(x) in der Klasse FP liegt. In der Tat: die Funktion
fi (i = 1, 2) wird durch eine TM Mi in polynomialer Zeit pi(n) berechnet. Dann
wird die Funktion h(x) = f2(f1(x)) durch die folgende TM berechnet:
x
M1
f1(x)
M2
f2(f1(x))
Für Wörter x der Länge n macht M1 höchstens p1(n) Schritte und schreibt also
höchstens p1(n) Symbole. Das Wort f1(x) hat daher die Länge ≤ n + p1(n). Dann
dauert die Berechnung von M2 höchstens p2(n+p1(n)) Schritte. Insgesamt braucht
die obige TM höchstens
p1(n) + p2(n + p1(n))
Schritte, und das ist ein Polynom – also liegt h in FP.
Natürlich ist die Relation ⊳ reflexiv, aber sie ist nicht antisymmetrisch.
6.4 Robustheit der Klasse P
Die Definition der Klasse P war auf dem Modell von TM aufgebaut. Sie ist aber von
diesem Modell unabhängig, wie wir jetzt demonstrieren werden. Zuerst zeigen wir,
dass, falls verschiedene Modifikationen von TM benutzt worden wären, die Klasse
P dieselbe geblieben wäre. Die Zeitkomplexität ist für k-Band-TM genau wie oben
für TM definiert.