Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

178 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
L ⊆ E × A ist eine Relation auf der Menge Σ ∗ (insbesondere folgt aus vLw
sofort v ∈ E und w ∈ A) und
c eine Funktion (Kostenfunktion) ist, die jedem Paar (v, w) ∈ L die Kosten
c(v, w) ∈ N der Lösung w zur Eingabe v zuordnet.
2. Eine Turingmaschine löst das Minimierungsproblem (Maximierungsproblem)
(Σ, E, A, L, c), falls sie für jede Eingabe v ∈ E mit einer Ausgabe
w ∈ A hält, für die gilt
(a) vLw und
(b) c(v, w) ≤ c(v, w ′ ) (c(v, w) ≥ c(v, w ′ )) für alle w ′ ∈ A mit vLw ′ .
Die Relation L kann auch mit ihrer charakteristischen Funktion χL : E × A →
{true,false} identifiziert werden.
Beispiel: die TM, die den oberen Algorithmus für MAXIMALES MATCHING implementiert,
ist eine Lösung des Problems. Wie erwähnt, hat diese TM eine polynomiale
Zeitkomplexität. Deswegen gehört MAXIMALES MATCHING zur folgenden
Klasse:
Definition. Die Klasse PO besteht aus allen Optimierungsproblemen (das heißt,
allen Minimierungs- und Maximierungsproblemen) (Σ, E, A, L, c), für die gilt:
1. E und A sind Sprachen der Klasse P (d.h., wir haben eine effiziente Prozedur,
die entscheidet, ob ein Wort eine Ein- oder Ausgabe codiert)
2. es gibt ein Polynom p(x), so daß jedes Paar (u, v) ∈ L der Bedingung |v| ≤
p(|u|) genügt (d.h., zu einer Eingabe kann es nur “kurze” Lösungen geben);
3. χL : E × A → {true,false} ist eine Funktion der Klasse FP
4. c ist eine Funktion der Klasse FP und
5. es gibt eine TM mit polynomialer Zeitkomplexität, die das Optimierungsproblem
löst.
Beispiel 5. MINMALE FÄRBUNG gehört nicht zu PO, falls P = N P, denn
3-FÄRBUNG ist ein N P-vollständiges Problem.
Beispiel 6. MAXIMALES MATCHING gehört zu PO.
In der Tat
1. gibt es Algorithmen, die in linearer Zeit entscheiden, ob ein binäres Wort einen
Graphen oder ein Matching codiert
2. ist jedes Matching als Teilmenge der Kantenmenge linear in der Eingabegröße
beschränkt
3. gibt es einen Algorithmus, der in linearer Zeit entscheidet, ob eine Menge von
Knoten ein Matching ist
4. kann die Bewertung der Zahl c(w, v) aller Knoten des Matching v in linearer
Zeit durchgeführt werden und
5. haben wir einen effizienten Algorithmus für die Lösung von MAXIMALES
MATCHING oben gezeigt.