Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

Kapitel 6
Komplexität von
Algorithmen
Bisher haben wir uns die Frage gestellt, ob ein Problem entscheidbar (d.h. mit
Hilfe eines Algorithmus lösbar) ist. Jetzt wollen wir auch die Effizienz von Algorithmen
diskutieren. Es gibt wichtige Aufgaben, wie z.B. jeden Graphen mit der
kleinstmöglichen Zahl an Farben zu färben (ohne dass eine Kante gleichfarbige Knoten
verbindet), für die es zwar Algorithmen gibt, aber kein effizienter Algorithmus
bekannt ist.
Wir führen zuerst die Klasse P aller Probleme ein, die effizient lösbar sind; z.B. das
Problem, jeden Graphen, für den es möglich ist, mit zwei Farben zu färben. ” Effizient“
bedeutet: in polynomialer Zeit durchführbar. Genauer: ein Problem gehört
der Klasse P an, falls es mit einem Algorithmus lösbar ist, für den es ein Polynom
p(m) gibt, so dass für jede Eingabe der Größe m die Lösung in p(m) Zeiteinheiten
gefunden werden kann. Es zeigt sich, dass die Klasse P nicht von dem Modell der
Berechnung abhängt: es kann eine Turingmaschine, eine RAM oder eine moderne
Workstation sein. (Natürlich wird für diese drei Modelle das ausgewählte Polynom
p(n) ganz verschieden sein, d.h., der ” Grad der Effizienz“ hängt sehr von der konkreten
Implementierung ab. Aber die prinzipielle Möglichkeit, die Zeit durch ein
Polynom zu beschränken, ist implementierungsunabhängig.)
Danach wird die Klasse N P aller Probleme eingeführt, für die wenigstens die Überprüfung,
ob eine gegebene Datei das Problem löst, effizient ist. Z.B. das Problem,
jeden Graphen, für den es möglich ist, mit drei Farben zu färben: es ist kein effizienter
Algorithmus bekannt, aber die Überprüfung, ob eine vorgeschlagene Färbung
wirklich drei Farben benutzt und keine Kante zwischen gleichfarbigen Knoten ergibt,
ist effizient. Leider ist es bis heute nicht bekannt, ob P = N P. Aber es sind
viele Probleme bekannt, die ” N P-vollständig“ sind - für diese gilt: wäre eines dieser
Probleme effizient lösbar, wären es alle anderen auch, denn dann folgt P = N P. Das
erwähnte Problem der Dreifärbung von Graphen ist, wie wir beweisen werden, N Pvollständig.
Es scheint sehr unwahrscheinlich, dass dieses Problem effizient lösbar
ist, aber falls ja, würde daraus folgen, dass viele andere wichtige Probleme (z.B.
Traveling Salesman Problem) effizient lösbar wären.
Dieses Kapitel hat, wie die vorigen, theoretischen Charakter; z.B. benutzt die Klasse
P beliebige Polynome zur Zeiteinschränkung und das ist nicht ” realistisch“, falls
das Polynom einen zu großen Exponenten hat. Dennoch hat Komplexitätstheorie
wichtige praktische Aspekte. Stellen Sie sich vor, dass Ihr Chef Sie damit beauftragt
hat, ein Programm zu schreiben, das überprüft, ob eine vorgeschlagene Produktspe-
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