Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

4.3. GRAMMATIKEN UND TURINGMASCHINEN 105
Das Wort a n b n c n , n ≥ 1, liegt in L(G), da es sich wie folgt ableiten lässt:
S ⇒ ∗ a n−1 S(BC) n−1 [Regel S → aSBC, (n − 1)-mal angewendet]
⇒ a n (BC) n [Regel S → aBC]
⇒ ∗ a n B n C n [Regel BC → CB, (n − 1)-mal angewendet]
⇒ a n bB n−1 C n [Regel aB → ab]
⇒ ∗ a n b n C n [Regel bB → bb, (n − 1)-mal angewendet]
⇒ a n b n cC n−1 [Regel bC → bc]
⇒ ∗ a n b n c n [Regel cC → cc, (n − 1)-mal angewendet]
Umgekehrt beweisen wir, dass nur Wörter der Form a n b n c n ableitbar sind. In der
Tat: falls w ein Wort ist, das von S ableitbar ist und keine Variable enthält, beweisen
wir das folgende:
1. Die Anzahl von a’s im Wort w ist dieselbe wie die von b’s und dieselbe wie die
von c’s . In der Tat, die Regeln (2) - (6) ändern die Anzahl der Buchstaben a,
b/B oder c/C nicht, und Regel (1) erhöht alle drei dieser Zahlen gleichzeitig
um 1.
2. Alle a’s stehen links im Wort w, das heißt, w hat die Form w = a n v (und v
besteht aus n b’s und n c’s ). Keine der Regeln (1) - (6) ändert nämlich die
linke Position von a.
3. Das Wort w enthält nicht die Kombination cb (das heißt, w hat nicht die Form
w = ucbv). Um das zu beweisen, betrachten wir die Regeln (3) - (6): diese
ändern weder Anzahl noch Position der Buchstaben a, b/B oder c/C im Wort,
sie wandeln nur B → b oder C → c um. Wir können daher annehmen, dass
in der Ableitung S ⇒ ∗ w zuerst nur die Regeln (1) und (2) benutzt werden,
und dann erst werden die Regeln (3) - (6) angewendet. Genauer: es gibt eine
Ableitung:
S ⇒ w1 ⇒ w2 ⇒ · · · ⇒ wi ⇒ · · · ⇒ wk = w,
wobei für S ⇒ · · · ⇒ wi nur die Regeln (1) und (2) angewendet werden und
für wi ⇒ · · · ⇒ wk nur die Regeln (3) - (6). Dann unterscheiden sich die
Wörter wi und wk nur dadurch, dass an der Stelle im Wort, an der b steht,
wi den Buchstaben B hat und dasselbe gilt analog für c/C. Das Wort wi
enthält die Kombination CB nicht, denn keine der Regeln (3) - (6) kann B in
b umwandeln, falls vor diesem B entweder C oder c steht. Es folgt, dass das
Wort w = wk die Kombination cb nicht enthält.
4. w = a n b n c n , denn in 2. haben wir ein Wort v mit n b’s, n c’s und ohne die
Kombination cb – das einzige Wort ist v = b n c n .
Beispiel 3. Simulation einer TM.
Wir zeigen jetzt, wie die Arbeit einer TM vollständig von einer Grammatik simuliert
werden kann. Erinnern wir uns an das Konzept von Konfigurationen (q, u, a, v) aus
Kapitel 3.1:
. . . a
. . .
u
⇑
q
v
Die Konfigurationen werden jetzt statt (q, uav) durch das Wort [uqav] über Σ∪Q∪
{[, ], #} bezeichnet. Also ist die Initialkonfiguration mit Eingabe s1 . . . sn das Wort
[q0s1 . . . sn].
Die Arbeit der TM wird durch die Relation ⊢ ( ” Folgekonfiguration“) beschrieben.
Wir konstruieren jetzt eine Grammatik G, in der für zwei Konfigurationen gilt: