Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

134 KAPITEL 6. KOMPLEXITÄT VON ALGORITHMEN
5: for alle Knoten v in V do
6: for alle Knoten w mit einer Kante (v, w) in E do
7: IN[w] := IN[w] + 1
8: end for
9: end for
10: for alle Knoten v in V do
11: if IN[w] = 0 then
12: U := U ∪ {v}
13: end if
14: end for
15: {(2) Rekursionsschritt}
16: while U einen Knoten v enthält do
17: U := U − v
18: i := i + 1
19: ord(v) := i
20: for alle Knoten w mit (v, w) ∈ E do
21: IN[w] := IN[w] − 1
22: if IN[w] = 0 then
23: U := U ∪ {w}
24: end if
25: end for
26: od
27: {(3) Ausgabe}
28: Falls n = i, ist ord eine topologische Sortierung von G.
29: Falls n > i, ist die Ausgabe ein Code dafür, dass G nicht azyklisch ist.
Korrektheit: Für jeden azyklischen Graphen G ist ord eine topologische Sortierung
von G. Das folgt daraus, dass jeder azyklische Graph einen Knoten ohne Vorgänger
hat. Deshalb ist U = ∅, solange nicht alle Knoten sortiert worden sind. Für jede
Kante (v, w) von G gilt: falls in einem Durchgang der Schleife 16–26 der Wert
ord(v) := i zugeordnet wird, hat vor diesem Durchgang IN[w] einen Wert ≥ 1.
Deswegen wird der Wert ord(w) erst in einem Durchgang i + k, k ≥ 1, zugewiesen
und es folgt ord(v) < ord(w).
Zeitkomplexität: Wir wollen die Zahl der Zeiteinheiten bestimmen, die dieser Algorithmus
für Graphen mit n Knoten und k Kanten braucht. Das hängt von der
Implementierung ab. Wir nehmen an, dass die mengentheoretischen Operationen
(insert, delete) so implementiert werden, dass sie eine konstante Zahl A von Zeiteinheiten
brauchen, und auch jede Zuweisung A Zeiteinheiten benötigt.
Dann dauert die Initialisierung:
Zeile Zeitkomplexität
2. A
3. A
4. An
5.–9. n + Ak
10.–14. 2An
(3A + 1)n + Ak Zeiteinheiten
Nur die Zeilen 5.–9. benötigt eine Erklärung: bezeichnen wir mit k(v) die Zahl aller
Nachfolger von v. Die Implementierung mit Adjazenzlisten erlaubt eine Durchführung
der Schleife 6.–8. in Zeit Ak(v). Die ganze Schleife dauert n+ n v=1 Ak(v) = n+Ak
Zeiteinheiten.
Im Rekursionsschritt dauert 20.–25. 3Ak(v) Schritte. Da die Rekursion n-mal wie-