Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

80 KAPITEL 3. TURINGMASCHINEN
ist. Wir können sie wie folgt als ” normale“ TM beschreiben, wobei der Initialzustand
(q0, s0) auch final ist:
M = (Q, Σ, δ, (q0, s0), (q0, s0))
mit den folgenden Übergangsregeln:
((q0, s0), s) → ((q1, s), R) für alle s ∈ Σ
((q1, s), s ′ ) → ((q1, s), R) für alle s ′ ∈ Σ, s ′ = s
((q1, s), #) → ((q0, s0), #).
Zum Beispiel wird die Eingabe stt(t = s) wie folgt berechnet:
((q0, s0), stt) ⊢ ((q1, s), stt) ⊢ ((q1, s), stt) ⊢ ((q1, s), stt#) ⊢ ((q0, s0), stt#).
Hier hält die TM und akzeptiert.
3.2.3 TM mit erweitertem Bandalphabet
Manchmal ist es geschickt, zusätzliche (Hilfs-)Symbole auf das Band schreiben zu
dürfen, die nicht zum Eingabealphabet gehören. Das bedeutet, dass außer dem
Eingabealphabet Σ noch ein Bandalphabet Γ mit Σ ⊆ Γ gegeben wird und die
Übergangsfunktion δ mit allen Symbolen aus Γ arbeitet, d.h., δ ist eine partielle
Funktion mit Definitionsbereich Q×(Γ∪{#}) und Wertebereich Q×(Γ∪{#, L, R}).
Eine TM mit erweitertem Bandalphabet ist also ein 6-Tupel
M = (Q, Σ, Γ, δ, q0, qF)
wobei Σ ⊆ Γ das Eingabealphabet und
δ : Q × (Γ ∪ {#}) → Q × (Γ ∪ {#, L, R})
eine partielle Funktion ist. Die Sprache, die M akzeptiert, ist die Sprache
L(M) ⊆ Σ ∗
aller Wörter über dem (kleineren) Eingabealphabet Σ, für die M im Finalzustand
hält.
Beispiel 2. Eine 1-Band TM, die die Sprache {a n b n c n ; n ≥ 1} akzeptiert. Hier
haben wir Σ = {a, b, c}, und wir benutzen Γ = {a, b, c, [, ]}. Die TM wird erst die
Eingabe mit [ und ] umklammern:
(q0, a) → (q0, L)
(q0, #) → (q0, [ )
(q0, [ ) → (q1, R)
(q1, x) → (q1, R) füR x = a, b, c
(q1, #) → (q1, ] ).
Jetzt kann sie die TM von Beispiel 3 in Abschnitt 3.1 simulieren.
Bemerkung 2. Für jede TM mit erweitertem Bandalphabet M gibt es eine ( ” normale“)
TM, die M simuliert. Das Eingabealphabet der neuen TM ist das Bandalphabet
Γ von M. Wir überprüfen zuerst (unter Verwendung eines zusätzlichen
Gedächtnisses, das Σ beinhaltet), ob jedes Symbol der Eingabe in Σ liegt. Falls
nein, hält die TM und akzeptiert nicht. Falls ja, wird weiter wie bei M berechnet.
3.2.4 TM mit mehrspurigem Band
Wir arbeiten hier mit einer Modifikation von TM, die darin besteht, dass das Band
in k Spuren unterteilt wird, die alle gleichzeitig gelesen werden. Stellen wir uns erst
vor, dass k = 2 ist. Wir schreiben Symbole aus dem Eingabealphabet Σ = Σ1 auf
Spur 1 und Symbole eines Hilfsalphabetes Σ2 auf Spur 2:
. . . # 0 1 0 0 1 # # # . . .
. . . # # a # b # # a #
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. . .