Skript in PDF - Theoretische Informatik - Technische Universität ...

Kapitel 5
Unentscheidbare Probleme
Es gibt wichtige praktische Fragen, die sich von keinem Algorithmus lösen lassen.
Beispiel: die Entscheidung, ob ein gegebenes Programm (sagen wir in PASCAL)
auf eine gegebene Eingabedatei hält. Es wäre von größter praktischer Bedeutung,
einen Algorithmus zur Verfügung zu haben, der als Eingabe ein Paar (P, D) hat,
wobei P ein PASCAL-Programmcode und D eine Datei für P ist, und das die
richtige Ausgabe ” hält“ oder ” hält nicht“ ergibt. Solch ein Algorithmus existiert aber
nicht. Das beweisen wir für eine Variante, die (statt mit PASCAL-Programmen) mit
Turingmaschinen arbeitet. Außerdem zeigen wir weitere Beispiele unentscheidbarer
Probleme.
Der formale Beweis, dass es ” vernünftige“ und wichtige Fragen gibt, die einfach kein
Algorithmus lösen kann, ist eines der wichtigsten Ergebnisse in diesem Skript, denn
daraus folgt, dass man bei dem Versuch, eine Aufgabe zu lösen, immer darauf achten
muss, dass die Aufgabe keine Variante eines unlösbaren Problems ist. Wir beginnen
aber mit einem positiven Ergebnis: es gibt eine universelle Turingmaschine, also
eine, die (wie moderne Rechner) programmiert werden kann.
5.1 Universelle Turingmaschine
Wir konstruieren jetzt eine universelle (oder ” programmierbare“) TM, die bei Eingaben
der Form
(c, w) c – Algorithmus, w – Datei
die Datei w entsprechend des Algorithmus c berechnet. Da wir Algorithmen als
Turingmaschinen interpretieren, können wir genauer sagen: eine universelle Turingmaschine
Mu erhält als Eingabe ein Wort
c(M)w,
wobei c(M) eine passende Codierung der (beliebigen) Turingmaschine M und w
ein (beliebiges) Eingabewort für M ist. Dann berechnet Mu die Eingabe und liefert
genau dasselbe Ergebnis, das die Maschine M auf Eingabe w liefert. Das können
wir entweder in der Akzeptor-Variante interpretieren, also Mu hält genau dann
auf c(M)w, wenn M auf w hält, und dann akzeptiert Mu genau dann, wenn M
akzeptiert, oder in der Rechner-Variante, also Mu führt für c(M)w zu der gleichen
Ausgabe wie M für w. Es zeigt sich, dass die Maschine Mu, die wir jetzt beschreiben,
beide Rollen erfüllt.
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